DISKRET FOURIER TRANSFORM: EGENSKAPER, APPLIKATIONER, EXEMPEL - MATTE - 2025

Den diskreta Fourier-transformen är en numerisk metod som används för att definiera samplen med hänvisning till spektralfrekvenserna som utgör en signal. Den studerar periodiska funktioner i slutna parametrar, vilket ger en annan diskret signal som resultat.

För att erhålla den diskreta Fourier-transformationen av N-punkter på en diskret signal måste följande två villkor uppfyllas i en sekvens x

TDF

Den diskreta Fourier-transformen kan definieras som en N-punktprovtagning av Fourier-transformen.

Tolkning av den diskreta Fourier-transformen

Källa: Pexels

Det finns 2 synvinklar från vilka resultaten erhållna i en sekvens _xs kan tolkas genom den diskreta Fourier-transformen.

-Den första motsvarar spektralkoefficienterna, redan kända från Fourier-serien. Det observeras i diskreta periodiska signaler, med sampel som sammanfaller med sekvensen x _s .

- Den andra handlar om spektrumet för en diskret aperiodisk signal, med sampel motsvarande sekvensen x _s .

Den diskreta transformationen är en approximation till spektrumet för den ursprungliga analoga signalen. Dess fas beror på samplingsinstansen, medan dess storlek beror på samplingsintervallet.

Egenskaper

De algebraiska strukturerna för strukturen utgör grunden för följande avsnitt.

linjäritet

C. S _n → C. F; Om en sekvens multipliceras med en skalar, kommer dess transformation också att vara.

T _n + V _n = F + F; Transformeringen av en summa är lika med summan av transformerna.

Duality

F → (1 / N) S- _k; Om den diskreta Fourier-transformen beräknas om till ett redan transformerat uttryck erhålls samma uttryck, skalas i N och inverteras med avseende på den vertikala axeln.

Veck

Genom att sträva efter liknande mål som i Laplace-transformen hänvisar konvolveringen av funktioner till produkten mellan deras Fourier-transformer. Konvolution gäller även diskreta tider och ansvarar för många moderna förfaranden.

X _n * R _n → F .F; Transformationen av en upplösning är lika med transformatorns produkt.

X _n . R _n → F * F; Transformeringen av en produkt är lika med transformationen av transformerna.

Förflyttning

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Om en sekvens försenas av m-prover, kommer dess effekt på den diskreta transformationen att vara en modifiering av vinkeln definierad av (2π / N) km.

Symmetri

X _t = X * _t = X _t

Modulation

W ^-Nm _N . x ↔ X _t

Produkt

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Symmetri

X ↔ X _t = X * _t

konjugat

x * ↔ X * _t

Parseval-ekvation

När det gäller den konventionella Fourier-transformen har den flera likheter och skillnader. Fourier-transformen omvandlar en sekvens till en solid linje. På detta sätt sägs det att resultatet av Fourier-variabeln är en komplex funktion av en verklig variabel.

Den diskreta Fourier-transformen mottar till skillnad från en diskret signal och omvandlar den till en annan diskret signal, det vill säga en sekvens.

Vad är den diskreta Fourier-transformen för?

De tjänar främst för att mycket förenkla ekvationer, medan de omvandlar härledda uttryck till maktelement. Betecknar differentiella uttryck i integrerade polynomformer.

Vid optimering, modulering och modellering av resultat fungerar det som ett standardiserat uttryck och är en frekvent resurs för teknik efter flera generationer.

Källa: pixabay

Historia

Detta matematiska koncept introducerades av Joseph B. Fourier 1811, medan han utvecklade en avhandling om värmeutbredning. Det antogs snabbt av olika grenar av vetenskap och teknik.

Det etablerades som det huvudsakliga arbetsverktyget i studien av ekvationer med partiella derivat, och jämförde det med det befintliga arbetsförhållandet mellan Laplace-transformen och vanliga differentiella ekvationer.

Varje funktion som kan arbetas med en Fourier-transform måste presentera noll utanför en definierad parameter.

Diskret Fourier-transform och dess omvända

Den diskreta transformationen erhålls genom uttrycket:

Efter att ha gett en diskret sekvens X

Det omvända av den diskreta Fourier-transformationen definieras genom uttrycket:

Omvänd kraftuttag

När den diskreta transformationen har uppnåtts tillåter den att definiera sekvensen i tidsdomänen X.

Bevingad

Parametriseringsprocessen som motsvarar den diskreta Fourier-transformen ligger i fönstret. För att bearbeta transformen måste vi begränsa sekvensen i tid. I många fall har signalerna i fråga inte dessa begränsningar.

En sekvens som inte uppfyller storlekskriterierna som ska tillämpas på den diskreta transformen kan multipliceras med en "fönster" -funktion V, vilket definierar uppförandet för sekvensen i en kontrollerad parameter.

X. V

Spektrumets bredd kommer att bero på fönstrets bredd. När fönstrets bredd ökar blir den beräknade transformationen smalare.

tillämpningar

Beräkning av den grundläggande lösningen

Den diskreta Fourier-transformen är ett kraftfullt verktyg i studien av diskreta sekvenser.

Den diskreta Fourier-transformen omvandlar en kontinuerlig variabelfunktion till en diskret variabeltransform.

Cauchy-problemet för värmeekvationen utgör ett ofta tillämpningsfält för den diskreta Fourier-transformen . Där kärnfunktionen för värme eller Dirichlet-kärna genereras, som gäller för samplingsvärden i en definierad parameter.

Signal teori

Det allmänna skälet för tillämpningen av den diskreta Fourier-transformen i denna gren beror huvudsakligen på den karakteristiska sönderdelningen av en signal som en oändlig superposition av lättare behandlingsbara signaler.

Det kan vara en ljudvåg eller en elektromagnetisk våg, den diskreta Fourier-transformen uttrycker den i en superposition av enkla vågor. Denna representation är ganska ofta inom elektroteknik.

Fourier-serien

De är serier definierade i termer av Cosines och Sines. De tjänar till att underlätta arbete med allmänna periodiska funktioner. När de används är de en del av teknikerna för att lösa vanliga och partiella differentiella ekvationer.

Fourier-serier är ännu mer allmänna än Taylor-serier, eftersom de utvecklar periodiska diskontinuerliga funktioner som inte har Taylor-serierepresentation.

Andra former av Fourier-serien

För att förstå Fourier-transformen analytiskt är det viktigt att granska de andra sätten på vilka Fourier-serien kan hittas tills vi kan definiera Fourier-serien i dess komplexa notation.

-Fourier-serien om en funktion av period 2L:

Intervallet beaktas, vilket ger fördelar när man utnyttjar funktionernas symmetriska egenskaper.

Om f är jämnt etableras Fourier-serien som en serie av Cosines.

Om f är udda etableras Fourier-serien som en serie med Sines.

-Komplex notation av Fourier-serien

Om vi ​​har en funktion f (t), som uppfyller alla krav i Fourier-serien, är det möjligt att beteckna den i intervallet med dess komplexa notation:

exempel

När det gäller beräkningen av den grundläggande lösningen presenteras följande exempel:

Å andra sidan är följande exempel på tillämpningen av den diskreta Fourier-transformen inom området signalteori:

-Systemidentifieringsproblem. Upprättat f och g

-Problem med utgångssignalens konsistens

-Problem med signalfiltrering

övningar

Övning 1

Beräkna den diskreta Fourier-transformen för följande sekvens.

Du kan definiera kraftuttaget för x som:

X _t = {4, -j2, 0, j2} för k = 0, 1, 2, 3

Övning 2

Vi vill bestämma den spektrala signal som definieras av uttrycket x (t) = e ^-t genom en digital algoritm . När den maximala frekvensbegärande koefficienten är f _m = 1Hz. En harmonisk motsvarar f = 0,3 Hz. Felet är begränsat till mindre än 5%. Beräkna f _s , D och N.

Med hänsyn till samplingsteoremet f _s = 2f _m = 2 Hz

En frekvensupplösning på f ₀ = 0,1 Hz väljs , från vilken vi får D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz är frekvensen som motsvarar indexet k = 3, där N = 3 × 8 = 24 sampel. Indikerar att f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Eftersom syftet är att få det lägsta möjliga värdet för N kan följande värden betraktas som en lösning:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

referenser

1. Behärska den diskreta Fourier-omvandlingen i en, två eller flera dimensioner: fallgropar och artefakter. Isaac Amidror. Springer Science & Business Media, 19 jul. 2013
2. DFT: En ägarmanual för den diskreta Fourier-omvandlingen. William L. Briggs, Van Emden Henson. SIAM, 1 jan. nittonhundranittiofem
3. Digital signalbehandling: teori och praktik. D. Sundararajan. World Scientific, 2003
4. Transformer och snabba algoritmer för signalanalys och representationer. Guoan Bi, Yonghong Zeng. Springer Science & Business Media, 6 dec. 2012
5. Diskreta och kontinuerliga Fourier-transformationer: Analys, applikationer och snabba algoritmer. Eleanor Chu. CRC Press, 19 mars. 2008