SCALEN TRAPEZOID: EGENSKAPER, FORMLER OCH EKVATIONER, EXEMPEL - MATTE - 2025

En scalen trapezoid är en polygon med fyra sidor, varav två är parallella med varandra och med dess fyra inre vinklar av olika mått.

Den fyrkantiga ABCD visas nedan, där sidorna AB och DC är parallella med varandra. Detta är tillräckligt för att det ska vara en trapezoid, men också, de inre vinklarna a, β, y och δ är alla olika, därför är trapetsformen skalen.

Figur 1. Kvadrilateralt ABCD är trapezoid av tillstånd 1 och scalen efter tillstånd 2. Källa: F. Zapata.

Beståndsdelar av scalen trapez

Här är de mest karakteristiska elementen:

-Baser och sidor: trapesformens parallella sidor är dess baser och de två icke-parallella sidorna är sidorna.

I en scalen trapezoid har baserna olika längder och de laterala också. En skalen trapezoid kan emellertid ha en lateral lika lång som en bas.

-Median: är det segment som sammanfogar mittpunkterna för de laterala.

-Diagonaler: diagonalen i en trapezoid är det segment som sammanfogar två motsatta vertikaler. En trapezoid, som varje fyrkantig, har två diagonaler. I den scene trapezoid har de olika längd.

Andra trapezoider

Förutom den scene trapezoid, finns det andra speciella trapezoider: rätt trapezoid och likbenets trapezoid.

En trapezoid är en rektangel när en av dess vinklar är rätt, medan en likgiltig trapezoid har sina sidor av samma längd.

Den trapetsformade formen har många tillämpningar på design- och industrinivå, till exempel i utformningen av flygplansvingar, formen på vardagliga föremål som bord, stolryggar, förpackning, plånböcker, textiltryck och mer.

Figur 2. Den trapetsformade formen är vanlig i flygplanens vingkonfiguration. Källa: Wikimedia Commons.

Egenskaper

Egenskaperna för den skala trapezoid listas nedan, av vilka många sträcker sig till de andra typerna av trapezoid. I det följande, när "trapezoid" talas om, kommer egenskapen att gälla för alla typer, inklusive scalen.

1. Trapezoidens median, det vill säga segmentet som sammanfogar mittpunkterna på dess icke-parallella sidor, är parallellt med någon av baserna.

2.- Medianen hos en trapezoid har en längd som är semisumet för dess baser och skär sina diagonaler i mittpunkten.

3.- Diagonalerna på en trapezoid korsar varandra vid en punkt som delar dem upp i två sektioner som är proportionella mot kvotenterna på baserna.

4.- Summan av kvadraterna för en trapesformad diagonaler är lika med summan av kvadraterna på sidorna plus den dubbla produkten från dess baser.

5.- Det segment som sammanfogar diagonalernas mittpunkter har en längd lika med halvdifferensen på baserna.

6.- Vinklarna intill sidovinkeln är kompletterande.

7.- I en skalen trapezoid är dess längder olika.

8.- En trapezoid har en inskriven omkrets endast om summan av dess baser är lika med summan av dess sidor.

9.- Om en trapezoid har en inskriven omkrets, är vinkeln med toppvinkeln i mitten av nämnda omkrets och sidor som passerar genom ändarna på trapezoidens sida är rak.

10.- En scalen trapezoid har inte en omskriven omkrets, den enda typen av trapezoid som gör är likben.

Formler och ekvationer

Följande förhållanden mellan den skalande trapesen hänvisas till följande figur.

1.- Om AE = ED och BF = FC → EF - AB och EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2 som är: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d _ett / 2 och AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) på liknande sätt CJ / JA = (c / a).

Bild 3. Median och diagonaler av en scalen trapezoid. Källa: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

ekvivalent:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Det vill säga:

n = (a - c) / 2

7.- a + 5 = 180 och P + y = 180 °

8.- Om α ≠ β ≠ γ ≠ δ, d1 ≠ d2.

9.- Figur 4 visar en skalen trapezoid som har en inskriven omkrets, i detta fall är det sant att:

a + c = d + b

10.- I en skalen trapezoid ABCD med en inskriven omkrets av centrum O gäller följande:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

Bild 4. Om det i en trapezoid är verifierat att summan av dess baser är lika med summan av de laterala, är det den omkrets som är inskriven i den. Källa: F. Zapata.

Höjd

Höjden på en trapezoid definieras som segmentet som går från en punkt på basen vinkelrätt mot den motsatta basen (eller dess förlängning).

Alla trapesformade höjder har samma mätning h, så för det mesta hänvisar ordets höjd till dess mätning. Kort sagt, höjd är avståndet eller separationen mellan baserna.

Höjden h kan bestämmas genom att känna till längden på en sida och en av vinklarna intill sidan:

h = d Sen (a) = d Sen (y) = b Sen (p) = b Sen (5)

Median

Måttet på trapesens median är halvsumman på baserna:

m = (a + b) / 2

diagonaler

d ₁ = √

d ₂ = √

Det kan också beräknas om endast längden på trapesformens sidor är känd:

d ₁ = √

d ₂ = √

Omkrets

Omkretsen är konturens totala längd, det vill säga summan av alla sidor:

P = a + b + c + d

Område

Området för en trapezoid är semisumet i dess baser multiplicerat med dess höjd:

A = h ∙ (a + b) / 2

Det kan också beräknas om median m är känd och höjden h:

A = m ∙ h

Om endast längden på trapezoidens sidor är känd, kan området bestämmas med hjälp av Herons formel för trapezoid:

A = ∙ √

Där s är halvmätaren: s = (a + b + c + d) / 2.

Andra förhållanden för scalen trapez

Korsningen av medianen med diagonalerna och parallellen som passerar genom skärningspunkten mellan diagonalerna ger upphov till andra relationer.

Bild 5. Andra förhållanden för scalen trapez. Källa: F. Zapata.

-Relationer för medianen EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

-Förhållanden för segmentet parallellt med baserna KL och passerar genom skärningspunkten J för diagonalerna

Om KL - AB - DC med J ∈ KL, då KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Konstruktion av den scalen trapezoid med linjal och kompass

Med tanke på baserna för längderna a och c, där a> cy med sidor av längderna b och d, där b> d, fortsätt genom att följa dessa steg (se figur 6):

1.- Med regeln dras segmentet av major AB.

2.- Från A se och på AB markera punkt P så att AP = c.

3.- Med kompassen med centrum i P och radie d dras en båge.

4.- Ett centrum görs vid B med radie b, och drar en båge som avbryter bågen som ritats i föregående steg. Vi kallar Q för skärningspunkten.

Figur 6. Konstruktion av en scalen trapezoid med tanke på dess sidor. Källa: F. Zapata.

5.- Med centrum vid A, rita en båge med radie d.

6.- Med mitten vid Q, rita en båge med radie c som avbryter bågen som ritats i föregående steg. Avstängningspunkten kommer att kallas R.

7.- Segment BQ, QR och RA ritas med linjalen.

8.- Kvadrilateralt ABQR är en scalen trapezoid, eftersom APQR är ett parallellogram, vilket garanterar att AB - QR.

Exempel

Följande längder anges i cm: 7, 3, 4 och 6.

a) Bestäm om det med dem är möjligt att konstruera en scalen trapezoid som kan omskriva en cirkel.

b) Hitta omkretsen, området, längden på diagonalerna och trapezoidens höjd samt radien för den inskrivna cirkeln.

- Lösning till

Med användning av segmenten med längden 7 och 3 som baser och de med längden 4 och 6 som sidor kan en skalen-trapezoid konstrueras med användning av proceduren som beskrivs i föregående avsnitt.

Det återstår att kontrollera om den har en inskriven omkrets, men att komma ihåg egenskapen (9):

Vi ser det effektivt:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Då är villkoren för att det finns inskriven omkrets uppfyllda.

- Lösning b

Omkrets

Omkretsen P erhålls genom att lägga till sidorna. Eftersom baserna lägger till upp till 10 och de laterala också, är omkretsen:

P = 20 cm

Område

För att bestämma området, känt endast dess sidor, används förhållandet:

A = ∙ √

Var är halva meter:

s = (a + b + c + d) / 2.

I vårt fall är halvmätaren värd s = 10 cm. Efter att ha ersat respektive värden:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Resterna:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Höjd

Höjden h är relaterad till området A genom följande uttryck:

A = (a + c) ∙ h / 2, från vilken höjden kan erhållas genom att rensa:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Radien för den inskrivna cirkeln

Radien för den inskrivna cirkeln är lika med halva höjden:

r = h / 2 = 1 984 cm

diagonaler

Slutligen hittar vi längden på diagonalerna:

d ₁ = √

d ₂ = √

Att korrekt ersätta de värden vi har:

d ₁ = √ = √ (36 + 21-7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21-7 (-20) / 4) = √ (72)

Som är: d ₁ = 4,69 cm och d ₂ = 8,49 cm

Bild 7. Scalen trapezoid som uppfyller villkoren för att det finns en inskriven omkrets. Källa: F. Zapata.

Träningen löst

Bestäm trapezoidens inre vinklar med baserna AB = a = 7, CD = c = 3 och sidovinklarna BC = b = 6, DA = d = 4.

Lösning

Kosinussteoremet kan tillämpas för att bestämma vinklarna. Till exempel bestäms vinkeln A = a från triangeln ABD med AB = a = 7, BD = d2 = 8,49, och DA = d = 4.

Den kosiniska teorem som tillämpas på denna triangel ser så här ut:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), det vill säga:

72 = 49 + 16-56 'Cos (a).

Lösande för erhålles kosinus av vinkeln a:

Cos (a) = -1/8

Det vill säga, a = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

De andra vinklarna erhålls på samma sätt, varvid deras värden är:

p = 41,41 '; y = 138,59 ° och slutligen 5 = 82,82⁰.

referenser

1. CEA (2003). Geometrielement: med övningar och kompassgeometri. University of Medellin.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematik 2. Grupo Redaktionella patria.
3. Freed, K. (2007). Upptäck polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. (2013). Generaliserade polygoner. Birkhäuser.
5. IGER. (Sf). Matematik Första termin Tacaná. IGER.
6. Jr. geometri. (2014). Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen och Hornsby. (2006). Matematik: resonemang och tillämpningar (tionde upplagan). Pearson Education.
8. Patiño, M. (2006). Matematik 5. Redaktionell progreso.
9. Wikipedia. Trapets. Återställd från: es.wikipedia.com