ISOSCELES TRAPEZOID: EGENSKAPER, RELATIONER OCH FORMLER, EXEMPEL - MATTE - 2025

En likgiltig trapezoid är en fyrkant i vilken två av sidorna är parallella med varandra och dessutom har de två vinklarna intill en av de parallella sidorna samma mått.

I figur 1 har vi den fyrkantiga ABCD, där sidorna AD och BC är parallella. Dessutom har vinklarna ABDAB och ∠ADC intill den parallella sidan AD samma mått α.

Bild 1. Isosceles trapez. Källa: F. Zapata.

Så denna fyrkantiga, eller fyrsidiga polygon, är i själva verket en likgiltig trapezoid.

I en trapezoid kallas de parallella sidorna baserna och de icke-parallella sidorna kallas lateralerna. En annan viktig egenskap är höjden, som är avståndet som skiljer de parallella sidorna.

Förutom isosceles trapezoid finns det andra typer av trapezoid:

-T rapezoid scalen, som har alla dess vinklar och olika sidor.

-Rektangulär rapszoid, i vilken ena sidan har rätt intilliggande vinklar.

Den trapesformade formen är vanligt inom olika områden inom design, arkitektur, elektronik, beräkning och många fler, som kommer att ses senare. Därför vikten av att bli bekant med dess egenskaper.

Egenskaper

Exklusivt för isosceles trapes

Om en trapezoid är likben har den följande karakteristiska egenskaper:

1.- Sidorna har samma mätning.

2.- Vinklarna intill baserna är lika.

3.- De motsatta vinklarna är kompletterande.

4.- Diagonalerna har samma längd, varvid de två segmenten som sammanfogar motsatta vertikaler är desamma.

5.- Vinkeln mellan baserna och diagonalerna är alla av samma mått.

6.- Den har en omskriven omkrets.

Omvänt, om en trapezoid uppfyller någon av ovanstående egenskaper, är det en likgiltig trapezoid.

Om en av vinklarna är en rät trapes är en av vinklarna rätt (90 º), kommer alla andra vinklar också att vara rätta och bilda en rektangel. Det vill säga en rektangel är ett speciellt fall av en likgiltig trapezoid.

Bild 2. Popcornbehållaren och skolborden är formade som en likgiltig trapezoid. Källa: Pxfuel (vänster) / McDowell Craig via Flickr. (rätt)

För alla trapes

Följande uppsättning egenskaper är giltiga för alla trapes:

7.- Trapezoidens median, det vill säga segmentet som sammanfogar mittpunkterna på dess icke-parallella sidor, är parallellt med någon av baserna.

8.- Medianlängden är lika med semisummet (summan dividerat med 2) för dess baser.

9.- Medianen hos en trapezoid skär sina diagonaler i mittpunkten.

10.- Diagonalerna hos en trapezoid korsar varandra vid en punkt som delar dem upp i två sektioner proportionella mot kvotenterna på baserna.

11.- Summan av kvadraterna för en trapezoids diagonaler är lika med summan av kvadraterna på dess sidor plus den dubbla produkten av dess baser.

12.- Segmentet som sammanfogar diagonalernas mittpunkter har en längd lika med halvdifferensen på baserna.

13.- Vinklarna intill sidorna är kompletterande.

14.- En trapezoid har en inskriven omkrets om och bara om summan av dess baser är lika med summan av dess sidor.

15.- Om en trapezoid har en inskriven omkrets är vinklarna med en topp i centrum av nämnda omkrets och sidor som passerar genom ändarna på samma sida rätvinkliga.

Relationer och formler

Följande uppsättning förhållanden och formler hänvisas till figur 3, där utöver isosceles trapezoid andra viktiga segment redan visas, såsom diagonaler, höjd och median.

Bild 3. Median, diagonaler, höjd och omskriven omkrets i en likgiltig trapezoid. Källa: F. Zapata.

Unika förhållanden mellan isosceles trapez

1.- AB = DC = c = d

2.- ∡DAB = ∡CDA och ∡ABC = ∡BCD

3.- ∡DAB + ∡BCD = 180º och ∡CDA + ∡ABC = 180º

4.- BD = AC

5.- ∡CAD = ∡BDA = ∡CBD = ∡BCA = α ₁

6.- A, B, C och D tillhör den omskrevna cirkeln.

Relationer för alla trapes

1. Om AK = KB och DL = LC ⇒ KL - AD och KL - BC

8.- KL = (AD + BC) / 2

9.- AM = MC = AC / 2 och DN = NB = DB / 2

10.- AO / OC = AD / BC och DO / OB = AD / BC

11.- AC ² + DB ² = AB ² + DC ² + 2⋅AD⋅BC

12.- MN = (AD - BC) / 2

13.- ∡DAB + ∡ABC = 180º och ∡CDA + ∡BCD = 180º

14.- Om AD + BC = AB + DC ⇒ ∃ R än ekvistant från AD, BC, AB och DC

15.- Om ∃ R är likvidistant från AD, BC, AB och DC, då:

∡BRA = ∡DRC = 90º

Förhållanden för isosceles trapez med inskriven omkrets

Om i en isosceles trapezoid summan av baserna är lika med två gånger i sidled, existerar den inskrivna omkretsen.

Bild 4. Trapezoid med inskriven omkrets. Källa: F. Zapata.

Följande egenskaper gäller när den isosceles trapezoid har en inskriven omkrets (se figur 4 ovan):

16.- KL = AB = DC = (AD + BC) / 2

17.- Diagonalerna skär varandra i rät vinkel: AC ⊥ BD

18.- Höjden mäter samma som median: HF = KL, det vill säga h = m.

19.- Höjdens kvadrat är lika med basprodukten : h ² = BC⋅AD

20.- Under dessa specifika förhållanden är trapezoidens yta lika med kvadratet på höjden eller produkten från baserna: Area = h ² = BC⋅AD.

Formler för att bestämma en sida, känna de andra och en vinkel

Genom att känna till en bas, den laterala och en vinkel, kan den andra basen bestämmas av:

a = b + 2c Cosa

b = a - 2c Cosa

Om basens längd och en vinkel anges som kända data, är längden på båda sidorna:

c = (a - b) / (2 Cos α)

Bestämning av ena sidan, känna de andra och en diagonal

a = (d ₁ ² - c ² ) / b;

b = (d ₁ ² - c ² ) / a

c = √ (d ₁ ² - a⋅b)

När d ₁ är längden på diagonalerna.

Sockel från höjd, yta och annan bas

a = (2 A) / h - b

b = (2 A) / h - a

Kända sidobaser, område och en vinkel

c = (2A) /

Känd lateral median, område och vinkel

c = A / (m sin a)

Känd höjd på sidorna

h = √

Känd höjd en vinkel och två sidor

h = tg α⋅ (a - b) / 2 = c. sin a

Kända diagonaler på alla sidor, eller två sidor och en vinkel

d ₁ = √ (c ² + ab)

d ₁ = √ (a ² + c ² - 2 ac Cos α)

d ₁ = √ (b ² + c ² - 2 bc Cos β)

Omkretsen av likställets triangel

P = a + b + 2c

Isosceles trapezområde

Det finns flera formler för beräkning av area, beroende på kända data. Följande är det mest kända, beroende på baser och höjd:

A = h⋅ (a + b) / 2

Och du kan också använda dessa andra:

-Om sidorna är kända

A = √

-När du har två sidor och en vinkel

A = (b + c Cos α) c Sen α = (a - c Cos α) c Sen α

-Om radien för den inskrivna cirkeln och en vinkel är kända

A = 4 r ² / Sen α = 4 r ² / Sen p

-När baserna och en vinkel är kända

A = a⋅b / Sen α = a⋅b / Sen β

-Om trapezoid kan skrivas in en omkrets

A = c⋅√ (a⋅b) = m⋅√ (a⋅b) = r⋅ (a + b) / 2

-Känn diagonalerna och vinkeln de bildar med varandra

A = (d ₁ ² /2), γ = Sen (d ₁ ² /2), ö Sen

-När du har sidled, median och en vinkel

A = mc.sen α = mc.sen β

Radien för den omskrevna cirkeln

Endast isosceles trapezoider har en omskriven omkrets. Om den större basen a, lateralen c och diagonalen d1 _{är känd} , är radien R för cirkeln som passerar genom trapesformens fyra vertiklar:

R = a⋅c⋅d ₁ / 4√

Där p = (a + c + d ₁ ) / 2

Exempel på användning av isosceles trapezoid

Den likgiltiga trapeziden visas inom designfältet, som ses i figur 2. Och här är några ytterligare exempel:

Inom arkitektur och konstruktion

De forntida inka kände isosceles trapezoid och använde den som ett byggelement i detta fönster i Cuzco, Peru:

Figur 5 Trapesformat fönster på Coricancha, Cuzco. Källa: Wikimedia Commons.

Och här visas trapeziden igen i det så kallade trapezformade arket, ett material som ofta används i konstruktionen:

Bild 6. Trapezformat metallplåt som tillfälligt skyddar fönstren i en byggnad. Källa: Wikimedia Commons.

I design

Vi har redan sett att isosceles trapezoid förekommer i vardagliga föremål, inklusive livsmedel som denna chokladkaka:

Bild 7. Chokladstång vars ansikten är formade som en isosceles trapes. Källa: Pxfuel.

Lösta övningar

- Övning 1

En trapezoid med en likställt har en bas som är större än 9 cm, en bas mindre än 3 cm, och dess diagonaler 8 cm vardera. Beräkna:

a) Sidan

b) Höjd

c) Omkrets

d) Areal

Bild 8. Schema för övning 1. Källa: F. Zapata

Lösning till

Höjden CP = h är ritad, där höjdens fot definierar segmenten:

PD = x = (ab) / 2 y

AP = a - x = a - a / 2 + b / 2 = (a + b) / 2.

Använda Pythagorean teorem till höger triangel DPC:

c ² = h ² + (a - b) ² /4

Och till höger triangel APC:

d ² = h ² + AP ² = h ² + (a + b) ² /4

Slutligen subtraheras medlem efter medlem, den andra ekvationen från den första och förenklade:

d ² - c ² = ¼ = ¼

d ² - c ² = ¼ = ab

c ² = d ² - ab ⇒ c = √ (d ² - ab) = √ (8 ² - 9⋅3) = √37 = 6,08 cm

Lösning b

h ² = d ² - (a + b) ² /4 = 8 ² - (12 ² /2 ² ) = 8 ² - sex ² = 28

h = 2 √7 = 5,29 cm

Lösning c

Omkrets = a + b + 2 c = 9 + 3 + 2⋅6,083 = 24,166 cm

Lösning d

Arean = h (a + b) / 2 = 5,29 (12) / 2 = 31,74 cm

- Övning 2

Det finns en likgiltig trapezoid vars största bas är två gånger den minsta och den minsta basen är lika med höjden, som är 6 cm. Besluta:

a) Sidolängden

b) Omkrets

c) Areal

d) Vinklar

Bild 8. Schema för övning 2. Källa: F. Zapata

Lösning till

Data: a = 12, b = a / 2 = 6 och h = b = 6

Vi fortsätter på följande sätt: vi drar höjden h och tillämpar Pythagorean teorem på hypotenuse triangeln «c» och ben h och x:

c ² = h ² + xc ²

Då måste du beräkna värdet på höjden från data (h = b) och det för benet x:

a = b + 2 x ⇒ x = (ab) / 2

Att ersätta de tidigare uttryck som vi har:

c ² = b ² + (ab) ² /2 ²

Nu införs de numeriska värdena och det förenklas:

c ² = 62+ (12-6) 2/4

c ² = 62 (1 + ¼) = 62 (5/4)

Erhållande:

c = 3√5 = 6,71 cm

Lösning b

Omkretsen P = a + b + 2 c

P = 12 + 6 + 6√5 = 6 (8 + √5) = 61,42 cm

Lösning c

Området som funktion av basernas höjd och längd är:

A = h⋅ (a + b) / 2 = 6⋅ (12 + 6) / 2 = 54 cm ²

Lösning d

Vinkeln a som lateralen bildar med den större basen erhålls genom trigonometri:

Brun (α) = h / x = 6/3 = 2

a = ArcTan (2) = 63,44º

Den andra vinkeln, den som bildar lateralen med den mindre basen är ß, som är kompletterande till α:

β = 180º - α = 180º - 63,44º = 116,56º

referenser

1. EA 2003. Geometrielement: med övningar och geometri av kompassen. University of Medellin.
2. Campos, F. 2014. Matematik 2. Grupo Redaktionella Patria.
3. Freed, K. 2007. Upptäck Polygoner. Benchmark Education Company.
4. Hendrik, V. 2013. Generalized Polygons. Birkhäuser.
5. IGER. Matematik Första termin Tacaná. IGER.
6. Jr. geometri. 2014. Polygoner. Lulu Press, Inc.
7. Miller, Heerenveen och Hornsby. 2006. Matematik: resonemang och tillämpningar. 10:e. Utgåva. Pearson Education.
8. Patiño, M. 2006. Matematik 5. Redaktionell progreso.
9. Wikipedia. Trapets. Återställd från: es.wikipedia.com