RÄTT TRAPEZOID: EGENSKAPER, RELATIONER OCH FORMLER, EXEMPEL - MATTE - 2025

En höger trapezoid är en plan figur med fyra sidor, så att två av dem är parallella med varandra, kallade baser, och en av de andra sidorna är vinkelrätt mot baserna.

Av denna anledning är två av de inre vinklarna rätt, det vill säga de mäter 90º. Därför namnet "rektangel" som ges till figuren. Följande bild av en höger trapezoid klargör dessa egenskaper:

Trapezoidelement

Elementen i trapezoid är:

-Bases

-Vertices

-Höjd

-Inre vinklar

-Medelbas

-Diagonals

Vi kommer att detaljera dessa element med hjälp av figurerna 1 och 2:

Bild 1. En höger trapezoid, kännetecknad av att ha två 90º inre vinklar: A och B. Källa: F. Zapata.

Sidorna på den högra trapesformen betecknas med små bokstäver a, b, c och d. Figurens eller hörnens hörn anges med stora bokstäver. Slutligen uttrycks de inre vinklarna med grekiska bokstäver.

Enligt definitionen är baserna på denna trapezoid sidorna a och b, vilka som observerats är parallella och också har olika längder.

Sidan vinkelrätt mot båda baserna är sidan c till vänster, vilket är höjden på trapesformen. Och slutligen finns det sidan d, som bildar den akuta vinkeln α med sidan a.

Summan av de inre vinklarna på en fyrkant är 360º. Det är lätt att se att den saknade vinkeln C i figuren är 180 - α.

Medianbasen är det segment som sammanfogar mittpunkterna för de icke-parallella sidorna (segment EF i figur 2).

Bild 2. Elementen i höger trapezoid. Källa: F. Zapata.

Och slutligen finns det diagonal d ₁ och d ₂ , de segment som förenar de motsatta hörn och att skär varandra i punkten O (se figur 2).

Relationer och formler

Trapezoidhöjd h

Omkrets P

Det är måttet på konturen och beräknas genom att lägga till sidorna:

Sidan d uttrycks i termer av höjden eller sidan c med den Pythagorese teorem:

Ersätta i omkretsen:

Mittbas

Det är halvsumman på baserna:

Ibland finns den genomsnittliga basen uttryckt så här:

Område

Trapezoidens område A är produkten av den genomsnittliga basen gånger höjden:

Diagonaler, sidor och vinklar

I figur 2 visas flera trianglar, både höger och icke-höger. Pythagorean-teoremet kan tillämpas på de som är rätt trianglar och på de som inte är det, kosinus- och sinusetningarna.

På detta sätt finns relationer mellan sidorna och mellan sidorna och inre vinklar på trapesformen.

CPA triangel

Det är en rektangel, dess ben är lika och är värda b, medan hypotenusen är diagonalen d ₁ , därför:

DAB triangel

Det är också en rektangel, benen är a och c (eller också ayh) och hypotenusen är d ₂ , så att:

CDA triangel

Eftersom denna triangel inte är en rätt triangel, appliceras kosinussteoremet på den, eller också sinusteoremet.

Enligt kosinusteoremet:

CDP triangel

Denna triangel är en höger triangel och med sina sidor är de trigonometriska förhållandena för vinkeln a konstruerade:

Men sidan PD = a - b, därför:

Du har också:

CBD triangel

I den här triangeln har vi vinkeln vars topp är vid C. Den är inte markerad i figuren, men i början framhölls att den är 180 - α. Denna triangel är inte en rätt triangel, så kosinusutvecklingen eller sinusetningen kan tillämpas.

Nu kan det enkelt visas att:

Tillämpa kosinusteoremet:

Exempel på högra trapezoider

Trapezoider och särskilt högra trapezoider finns på många sidor, och ibland inte alltid i konkret form. Här har vi flera exempel:

Trapesformen som designelement

Geometriska figurer finns i överflöd i arkitekturen i många byggnader, till exempel denna kyrka i New York, som visar en struktur i form av en rektangulär trapez.

På samma sätt är den trapetsformade formen ofta i utformningen av containrar, behållare, blad (skär eller exakt), plattor och i grafisk design.

Bild 3. Ängel i en rektangel-trapezoid i en kyrka i New York. Källa: David Goehring via Flickr.

Trapesformad våggenerator

Elektriska signaler kan inte bara vara kvadratiska, sinusformade eller triangulära. Det finns också trapesformiga signaler som är användbara i många kretsar. I figur 4 finns en trapezoidal signal bestående av två högra trapezoider. Mellan dem bildar de en enda isosceles trapes.

Bild 4. En trapesformad signal. Källa: Wikimedia Commons.

I numerisk beräkning

För att i numerisk form beräkna den definitiva integralen av funktionen f (x) mellan a och b, använder vi trapezoidregeln för att ungefärliga området under diagrammet för f (x). I följande figur till vänster integreras integralen med en enda höger trapezoid.

En bättre tillnärmning är den i rätt figur, med flera höger trapezoider.

Figur 5. En bestämd integral mellan a och b är inget annat än området under kurvan f (x) mellan dessa värden. En rätt trapezoid kan fungera som en första tillnärmning för ett sådant område, men ju fler trapezoider som används, desto bättre är tillnärmningen. Källa: Wikimedia Commons.

Balk med trapesformad belastning

Krafter är inte alltid koncentrerade på en enda punkt, eftersom kropparna som de agerar på har märkbara dimensioner. Detta är fallet med en bro över vilken fordon cirkulerar kontinuerligt, vattnet i en pool på samma vertikala väggar eller ett tak på vilket vatten eller snö samlas.

Av denna anledning fördelas krafter per enhet av längd, ytarea eller volym, beroende på kroppen på vilket de verkar.

I fallet med en balk kan en kraft fördelad per enhetslängd ha olika fördelningar, till exempel den högra trapeziden som visas nedan:

Bild 6. Belastningar på en balk. Källa: Bedford, A. 1996. Statisk. Addison Wesley Interamericana.

I verkligheten motsvarar distributionen inte alltid vanliga geometriska former som den här, men de kan vara en bra tillnärmning i många fall.

Som ett pedagogiskt och lärande verktyg

Geometriska formade block och bilder, inklusive trapezoider, är mycket användbara för att bekanta barn med den fascinerande geometrivärlden från en tidig ålder.

Figur 7. Block med enkla geometriska former. Hur många trapezoider är dolda i blocken? Källa: Wikimedia Commons.

Lösta övningar

- Övning 1

I höger trapezoid i figur 1 är den större basen 50 cm och den mindre basen lika med 30 cm, det är också känt att den sneda sidan är 35 cm. Hitta:

a) Vinkel a

b) Höjd

c) Omkrets

d) Genomsnittlig bas

e) Område

f) Diagonaler

Lösning till

Uttalandedata sammanfattas enligt följande:

a = större bas = 50 cm

b = mindre bas = 30 cm

d = lutande sida = 35 cm

För att hitta vinkeln α besöker vi avsnittet med formler och ekvationer, för att se vilken som bäst passar uppgifterna. Den sökta vinkeln finns i flera av de analyserade trianglarna, till exempel CDP.

Där har vi denna formel, som innehåller det okända och även de data som vi känner:

Således:

Det rensar h:

d ₁ ² = 2 x (30 cm) ² = 1800 cm ²

d ₁ = √1800 cm ² = 42,42 cm

Och för diagonalen d ₂ :

referenser

1. Baldor, A. 2004. Plan och rymdgeometri med trigonometri. Kulturella publikationer.
2. Bedford, A. 1996. Statics. Addison Wesley Interamericana.
3. Jr. geometri. 2014. Polygoner. Lulu Press, Inc.
4. OnlineMSchool. Rektangulär trapez. Återställd från: es.onlinemschool.com.
5. Problemlösare för automatisk geometri. Trapesen. Återställd från: scuolaelettrica.it
6. Wikipedia. Trapezoid (geometri). Återställd från: es.wikipedia.org.