CYLINDRISKA KOORDINATER: SYSTEM, FÖRÄNDRING OCH ÖVNINGAR - MATTE - 2025

De cylindriska koordinaterna används för att lokalisera punkter i tredimensionellt utrymme och består av en radiell koordinat ρ, φ azimutalkoordinat och z-koordinat för höjd.

En punkt P belägen i rymden projiceras ortogonalt på XY-planet vilket ger upphov till punkten P 'i det planet. Avståndet från ursprunget till punkten P 'definierar koordinaten ρ, medan vinkeln som X-axeln gör med strålen OP' definierar koordinaten φ. Slutligen är z-koordinaten den ortogonala projektionen av punkt P på Z-axeln. (se figur 1).

Figur 1. Punkt P för cylindriska koordinater (ρ, φ, z). (Egen utarbetande)

Den radiella koordinaten ρ är alltid positiv, den azimutalkoordinaten φ varierar från nollradianer till två pi-radianer, medan z-koordinaten kan ta valfritt värde:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Ändring av koordinater

Det är relativt enkelt att erhålla de kartesiska koordinaterna (x, y, z) för en punkt P från dess cylindriska koordinater (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Men det är också möjligt att erhålla polära koordinater (ρ, φ, z) utifrån kunskapen om de kartesiska koordinaterna (x, y, z) för en punkt P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = arktan (y / x)

z = z

Vektorbas i cylindriska koordinater

Basen för cylindriska enhetsvektorer Uρ , Uφ , Uz definieras .

Vektorn Uρ är tangent till linjen φ = ctte och z = ctte (pekar radiellt utåt), vektorn Uφ är tangens till linjen ρ = ctte och z = ctte och slutligen har Uz samma riktning på Z-axeln.

Figur 2. Cylindrisk koordinatbas. (wikimedia commons)

I den cylindriska enhetsbasen skrivs positionsvektorn r för en punkt P vektoriellt så här:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

Å andra sidan, en oändligt liten förskjutning d r är från punkten P uttryckas som följer:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

På liknande sätt är ett infinitesimalt element av volym dV i cylindriska koordinater:

dV = ρ dρ dφ dz

exempel

Det finns otaliga exempel på användning och tillämpning av cylindriska koordinater. I kartografi används till exempel den cylindriska projektionen, baserad exakt på dessa koordinater. Det finns fler exempel:

Exempel 1

Cylindriska koordinater har applikationer inom teknik. Som exempel har vi CHS (Cylinder-Head-Sector) -systemet med dataposition på en hårddisk, som faktiskt består av flera skivor:

- Cylindern eller spåret motsvarar koordinaten ρ.

- Sektorn motsvarar positionen φ på skivan som roterar med hög vinkelhastighet.

- Huvudet motsvarar z-läget för läshuvudet på motsvarande disk.

Varje informationsbyte har en exakt adress i cylindriska koordinater (C, S, H).

Figur 2. Information om information i cylindriska koordinater på ett hårddisksystem. (wikimedia commons)

Exempel 2

Konstruktionskranar fixerar lastens läge i cylindriska koordinater. Det horisontella läget definieras av avståndet till kranen ρ's axel eller pil och av dess vinkelläge φ med avseende på någon referensaxel. Lastens vertikala position bestäms av z-koordinaten för höjden.

Figur 3. Lastens läge på en konstruktionskran kan enkelt uttryckas i cylindriska koordinater. (bild pixabay - kommentarer R. Pérez)

Lösta övningar

Övning 1

Det finns punkter P1 med cylindriska koordinater (3, 120º, -4) och punkt P2 med cylindriska koordinater (2, 90º, 5). Hitta det euklidiska avståndet mellan dessa två punkter.

Lösning: Först fortsätter vi med att hitta de kartesiska koordinaterna för varje punkt enligt formeln som anges ovan.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1,5, 2,60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Det euklidiska avståndet mellan P1 och P2 är:

d (Pl, P2) = √ ((0 - (-1,5)) ² + (2 - 2,60) ² + (5 - (- 4)) ² ) = …

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Övning 2

Punkt P har kartesiska koordinater (-3, 4, 2). Hitta motsvarande cylindriska koordinater.

Lösning: Vi fortsätter med att hitta de cylindriska koordinaterna med hjälp av förhållandena ovan:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53,13º + 180º = 126,87º

z = 2

Det bör komma ihåg att arktangentfunktionen är flervärdat med 180 ° periodicitet. Vinkeln belong måste också tillhöra den andra kvadranten, eftersom x- och y-koordinaterna för punkt P finns i den kvadranten. Detta är anledningen till att 180º har lagts till resultatet result.

Övning 3

Uttryck i cylindriska koordinater och i kartesiska koordinaterar ytan på en cylinder med radie 2 och vars axel sammanfaller med Z-axeln.

Lösning: Det inses att cylindern har en oändlig förlängning i z-riktningen, så att ekvationen för nämnda yta i cylindriska koordinater är:

p = 2

För att erhålla den kartesiska ekvationen för den cylindriska ytan tas kvadratet för båda delarna av den föregående ekvationen:

p ² = 4

Vi multiplicerar båda medlemmarna av ovanstående jämlikhet med 1 och tillämpar den grundläggande trigonometriska identiteten (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Parentesen är utvecklad för att erhålla:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Vi kommer ihåg att de första parenteserna (ρ sin (φ)) är y-koordinaten för en punkt i polära koordinater, medan parenteserna (ρ cos (φ)) representerar x-koordinaten, så att vi har ekvationen mellan cylindern i koordinaterna. cartesianska:

y ² + x ² = 2 ²

Ovanstående ekvation bör inte förväxlas med den för en omkrets i XY-planet, eftersom det i detta fall skulle se ut så här: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}.

Övning 4

En cylinder med radie R = 1 m och höjd H = 1m har sin massa fördelad radiellt enligt följande ekvation D (ρ) = C (1 - ρ / R) där C är en konstant med värdet C = 1 kg / m ³ . Hitta cylinderns totala massa i kilogram.

Lösning: Det första är att inse att funktionen D (ρ) representerar den volumetriska massatätheten och att massatätheten fördelas i cylindriska skal med minskande densitet från centrum till periferin. Ett oändligt volymelement enligt symmetrin i problemet är:

dV = ρ dρ 2π H

Därför kommer den infinitesimala massan hos ett cylindriskt skal:

dM = D (p) dV

Därför kommer cylinderns totala massa att uttryckas med följande bestämda integral:

M = ∫ _eller ^R D (ρ) dV = ∫ _eller ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _eller ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Lösningen för den angivna integralen är inte svår att få, varvid resultatet är:

∫ _eller ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Genom att integrera detta resultat i uttrycket av massan på cylindern får vi:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1 m * 1 kg / m ³ * 1 m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

referenser

1. Arfken G och Weber H. (2012). Matematiska metoder för fysiker. En omfattande guide. 7: e upplagan. Academic Press. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Beräkning cc. Löst problem med cylindriska och sfäriska koordinater. Återställd från: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Cylindrical Coordinates." Från MathWorld - A Wolfram Web. Återställd från: mathworld.wolfram.com
4. wikipedia. Cylindriskt koordinatsystem. Återställd från: en.wikipedia.com
5. wikipedia. Vektorfält i cylindriska och sfäriska koordinater. Återställd från: en.wikipedia.com