VANLIG FAKTOR GENOM ATT GRUPPERA TERMER: EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

Den vanliga faktorn genom att gruppera termer är en algebraisk procedur som låter dig skriva några algebraiska uttryck i form av faktorer. För att uppnå detta mål måste du först gruppera uttrycket ordentligt och observera att varje grupp som sålunda bildats har en gemensam faktor.

Att använda tekniken på rätt sätt kräver lite övning, men på nolltid behärskar du den. Låt oss först titta på ett illustrativt exempel som beskrivs steg för steg. Då kan läsaren tillämpa vad de har lärt sig i var och en av övningarna som kommer att visas senare.

Figur 1. Att ta en gemensam faktor genom att gruppera termer gör det lättare att arbeta med algebraiska uttryck. Källa: Pixabay.

Anta till exempel att du måste faktorisera följande uttryck:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Detta algebraiska uttryck består av fyra monomialer eller termer, separerade med + och - tecken, nämligen:

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

När vi tittar noga är x gemensamt för de första tre, men inte den sista, medan y är gemensam för den andra och fjärde, och z är gemensam för den tredje och den fjärde.

Så i princip finns det ingen gemensam faktor för de fyra termerna samtidigt, men om de är grupperade som kommer att visas i nästa avsnitt, är det möjligt att en dyker upp som hjälper till att skriva uttrycket som produkten av två eller fler faktorer.

exempel

Faktorera uttrycket: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Steg 1 : Gruppera

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Steg 2: Hitta den gemensamma faktorn för varje grupp

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Jag menar : det negativa tecknet är också en vanlig faktor som måste beaktas.

Observera nu att parenteserna (x + y) upprepas i de två termerna som erhålls genom gruppering. Det är den vanliga faktorn som sökts.

Steg 3: Faktorera hela uttrycket

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

Med det föregående resultatet har målet att factoring uppnåtts, vilket är ingen annan än att omvandla ett algebraiskt uttryck baserat på tillägg och subtraktioner av termer, till produkten av två eller flera faktorer, i vårt exempel, av: (x + y) och (2x - 3z).

Viktiga frågor om den gemensamma faktorn genom gruppering

Fråga 1 : Hur vet jag att resultatet är korrekt?

Svar : Distributionsegenskapen tillämpas på det erhållna resultatet och efter minskning och förenkling måste uttrycket som sålunda erhållas matcha originalet, om inte finns det ett fel.

I föregående exempel arbetar vi omvänt med resultatet för att kontrollera att det är korrekt:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Eftersom tilläggens ordning inte förändrar summan, efter att ha använt distribueringsegenskapen returneras alla ursprungliga villkor, inklusive tecken, därför är faktoriseringen korrekt.

Fråga 2: Kan det ha grupperats på ett annat sätt?

Svar: Det finns algebraiska uttryck som tillåter mer än en form av gruppering och andra som inte gör det. I det valda exemplet kan läsaren prova andra möjligheter på egen hand, till exempel gruppering som denna:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

Och du kan kontrollera att resultatet är detsamma som det erhölls här. Att hitta en optimal gruppering är en fråga om övning.

Fråga 3: Varför är det nödvändigt att ta en gemensam faktor från ett algebraiskt uttryck?

Svar : Eftersom det finns applikationer där det fakturerade uttrycket underlättar beräkningarna. Anta till exempel att du vill ställa in 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy lika med 0. Vilka är möjligheterna?

För att besvara denna fråga är den fakturerade versionen mycket mer användbar än den ursprungliga utvecklingen i termer. Det anges så här:

(x + y) (2x - 3z) = 0

En möjlighet att uttrycket är värt 0 är att x = -y, oavsett värdet på z. Och det andra är att x = (3/2) z, oavsett värdet på y.

övningar

- Övning 1

Extrahera gemensam faktor för följande uttryck genom att gruppera termer:

ax + ay + bx + av

Lösning

De två första är grupperade, med den gemensamma faktorn "a" och de två sista med den gemensamma faktorn "b":

ax + ay + bx + av = a (x + y) + b (x + y)

När detta är gjort avslöjas en ny gemensam faktor, som är (x + y), så att:

ax + ay + bx + av = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Ett annat sätt att gruppera

Detta uttryck stöder ett annat sätt att gruppera. Låt oss se vad som händer om termerna omorganiseras och en grupp skapas med de som innehåller x och en annan med de som innehåller y:

ax + ay + bx + av = ax + bx + ay + av = x (a + b) + y (a + b)

På detta sätt är den nya gemensamma faktorn (a + b):

ax + ay + bx + av = ax + bx + ay + av = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Vilket leder till samma resultat från den första gruppering som testades.

- Övning 2

Följande algebraiska uttryck måste skrivas som produkten av två faktorer:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Lösning

Detta uttryck innehåller 6 termer. Låt oss försöka gruppera första och fjärde, andra och tredje och slutligen femte och sjätte:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

Nu har varje parentes beaktats:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b -a) + b (a-3b)

Vid första anblicken verkar det som om situationen har varit komplicerad, men läsaren bör inte avskräckas, eftersom vi kommer att skriva om den sista termen:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

De två sista termerna har nu en gemensam faktor, som är (3b-a), så att de kan tas upp. Det är mycket viktigt att inte glömma den första termen a ² (3a - 1), som måste fortsätta att följa allt som ett tillägg, även om du inte arbetar med det:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Uttrycket har reducerats till två termer och en ny gemensam faktor upptäcks i den sista, som är "b". Nu återstår det:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Nästa vanliga faktor som dyker upp är 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Eller om du föredrar utan parenteser:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ² )

Kan läsaren hitta ett annat sätt att gruppera som leder till samma resultat?

Bild 2. Föreslagna factoringövningar. Källa: F. Zapata.

referenser

1. Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. Kulturella Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
3. Huvudfall av factoring. Återställd från: julioprofe.net.
4. UNAM. Grundläggande matematik: faktorisering genom att gruppera termer. Fakulteten för bokföring och administration.
5. Zill, D. 1984. Algebra and Trigonometry. MacGraw Hill.