HOMOGRAFISK FUNKTION: HUR MAN GRAFERAR, LÖSTE ÖVNINGAR - MATTE - 2025

Den funktion homografisk eller rationella ng är en typ av matematisk funktion består av polynom division två komponenter. Den följer formen P (x) / Q (x), där Q (x) inte kan ta en nollform.

Exempelvis motsvarar uttrycket (2x - 1) / (x + 3) en homografisk funktion med P (x) = 2x - 1 och Q (x) = x + 3.

Källa: pixabay.com

De homografiska funktionerna utgör en del av studien av de analytiska funktionerna, som behandlas från diagrammetoden och från studien av domänen och intervallet. Detta beror på de begränsningar och skäl som måste tillämpas för dina resolutioner.

Vad är en homografisk funktion?

De är rationella uttryck för en enda variabel, även om detta inte betyder att det inte finns något liknande uttryck för två eller flera variabler, där det redan skulle vara i närvaro av kroppar i rymden som följer samma mönster som den homografiska funktionen i planet.

De har verkliga rötter i vissa fall, men förekomsten av vertikala och horisontella asymptot upprätthålls alltid, liksom intervaller för tillväxt och minskning. Vanligtvis är bara en av dessa trender närvarande, men det finns uttryck som kan visa båda i deras utveckling.

Dess domän begränsas av nämnararnas rötter, eftersom det inte finns någon delning med noll av verkliga siffror.

Blandad homografisk funktion

De är mycket ofta i beräkningen, speciellt differentiella och integrerade, och är nödvändiga för att härleda och anti-derivat under särskilda formler. Några av de vanligaste listas nedan.

Till och med den nionde roten till den homografiska funktionen

Uteslut alla element i domänen som gör argumentet negativt. Rötterna som finns i varje polynomiskt utbytesvärde på noll vid utvärdering.

Dessa värden accepteras av radikalen, även om den grundläggande begränsningen av den homografiska funktionen måste beaktas. Där Q (x) inte kan ta emot nollvärden.

Intervallernas lösningar måste avlyssnas:

För att uppnå lösningen på korsningarna kan bland annat teckenmetoden användas.

Logaritmen för den homografiska funktionen

Det är också vanligt att hitta båda uttryck i ett, bland andra möjliga kombinationer.

Hur diagram en homografisk funktion?

Homografiska funktioner motsvarar grafiskt hyperbolor i planet. Som transporteras horisontellt och vertikalt enligt värdena som definierar polynomen.

Det finns flera element som vi måste definiera för att skapa en rationell eller homografisk funktion.

Egendom

Den första kommer att vara rötter eller nollor för funktionerna P och Q.

De uppnådda värdena kommer att anges på grafens x-axel. Indikerar skärningspunkten i grafen med axeln.

Vertikal asymptot

De motsvarar vertikala linjer, som avgränsar grafen beroende på de trender de presenterar. De rör vid x-axeln vid de värden som gör nämnaren noll och kommer aldrig att beröras av grafen för den homografiska funktionen.

Horisontell asymptot

Med en horisontell sömlinje avgränsar den en gräns för vilken funktionen inte kommer att definieras vid den exakta punkten. Trender kommer att observeras före och efter denna linje.

För att beräkna det måste vi ta till en metod som liknar L'Hopitals metod, som används för att lösa gränser för rationella funktioner som tenderar till oändlighet. Vi måste ta koefficienterna för de högsta krafterna i funktionens teller och nämnare.

Till exempel har följande uttryck en horisontell asymptot vid y = 2/1 = 2.

Tillväxtintervall

Ordinatvärdena kommer att ha trender markerade på diagrammet på grund av asymptotema. Vid tillväxt kommer funktionen att öka i värden när elementen i domänen utvärderas från vänster till höger.

Minska intervallet

Ordinatvärdena kommer att minska när domänelementen utvärderas från vänster till höger.

De hopp som finns i värdena kommer inte att beaktas när ökar eller minskar. Detta inträffar när diagrammet ligger nära en vertikal eller horisontell asymptot, där värdena kan variera från oändlighet till negativ oändlighet och vice versa.

Y-skärningspunkt

Genom att ställa in värdet på x till noll, finner vi avlyssningen med ordinataxeln. Detta är mycket användbar data för att få grafen för den rationella funktionen.

exempel

Definiera grafen för följande uttryck, hitta deras rötter, vertikala och horisontella asymptot, intervall för ökning och minskning och skärning med ordinataxeln.

Övning 1

Uttrycket har inga rötter, eftersom det har ett konstant värde i telleren. Begränsningen som ska tillämpas är x olika från noll. Med horisontell asymptot vid y = 0 och vertikal asymptot vid x = 0. Det finns inga skärningspunkter med y-axeln.

Det observeras att det inte finns några tillväxtintervall även med hoppet från minus till plus oändlighet vid x = 0.

Minskningsintervallet är

ID: (-∞; o) U (0, ∞)

Övning 1.2

2 polynomer observeras som i den ursprungliga definitionen, så vi fortsätter enligt de etablerade stegen.

Den hittade roten är x = 7/2, vilket är resultatet av att funktionen är lika med noll.

Den vertikala asymptot är vid x = - 4, vilket är värdet som utesluts från domänen av det rationella funktionstillståndet.

Den horisontella asymptot är vid y = 2, detta efter att ha delat 2/1, koefficienterna för variablerna i grad 1.

Den har ett y-avlyssning = - 7/4. Värde som hittas efter att jämställas med x till noll.

Funktionen växer ständigt, med ett hopp från plus till minus oändlighet runt roten x = -4.

Dess tillväxtintervall är (-∞, - 4) U (- 4, ∞).

När värdet på x närmar sig minus oändlighet tar funktionen värden nära 2. Samma händer när x närmar sig mer oändlighet.

Uttrycket närmar sig plus oändlighet vid utvärdering till - 4 från vänster och minus oändlighet vid utvärdering till - 4 från höger.

Övning 2

Grafen för följande homografiska funktion observeras:

Beskriv dess beteende, rötter, vertikala och horisontella asymptoter, intervaller för tillväxt och minskning och skärning med ordinataxeln.

Nämnaren för uttrycket berättar för oss genom att ta hänsyn till skillnaden i kvadrater (x + 1) (x - 1) värdena på rötter. På detta sätt kan båda vertikala asymptotema definieras som:

x = -1 och x = 1

Den horisontella asymptot motsvarar abscissaxeln eftersom den högsta kraften är i nämnaren.

Dess enda rot definieras av x = -1/3.

Uttrycket minskar alltid från vänster till höger. Den närmar sig noll när den närmar sig oändligheten. Minus oändlighet när du närmar dig -1 från vänster. En plus oändlighet när det närmar sig -1 från höger. Mindre oändlighet när man närmar sig 1 från vänster och mer oändlig när man närmar sig 1 från höger.

referenser

1. Tillnärmning med rationella funktioner. Donald J. Newman. American Mathematical Soc., 31 dec. 1979
2. Ortogonala rationella funktioner. UNIVERSIDAD DE LA LAGUNA TENERIFE ADHEMAR BULTHEEL, Adhemar Bultheel, Pablo Gonzalez-Vera, Erik Hendriksen, Olav Njastad. Cambridge University Press, 13 februari. 1999
3. Rationell tillnärmning av verkliga funktioner. PP Petrushev, Vasil Atanasov Popov. Cambridge University Press, 3 mar. 2011
4. Algebraiska funktioner. Gilbert Ames Bliss. Courier Corporation, 1 jan 2004
5. Journal of the Spanish Mathematical Society, bind 5-6. Spanish Mathematical Society, Madrid 1916