HEXAGONAL PYRAMID: DEFINITION, EGENSKAPER OCH EXEMPEL - MATTE - 2025

En hexagonal pyramid är en polyhedron bildad av en hexagon, som är basen, och sex trianglar som börjar från sexhörningens toppar och möts vid en punkt utanför planet som innehåller basen. Denna samtidspunkt är känd som pyramidens topp eller topp.

En polyhedron är en sluten tredimensionell geometrisk kropp vars ansikten är plana figurer. En hexagon är en stängd plan figur (polygon) som består av sex sidor. Om alla sex sidor har samma längd och bildar lika vinklar sägs det vara regelbundet; annars är det oregelbundet.

Definition

En sexkantig pyramid innehåller sju ansikten, basen och de sex laterala trianglarna, varav basen är den enda som inte berör toppet.

Pyramiden sägs vara rak om alla sido-trianglarna är likben. I detta fall är pyramidens höjd det segment som går från toppunktet till mitten av hexagon.

Generellt sett är höjden på en pyramide avståndet mellan toppens topp och planet. Pyramiden sägs vara sned om inte alla sido-trianglarna är likben.

Om sexhörningen är regelbunden och pyramiden också är rak, sägs det vara en vanlig sexkantig pyramid. På samma sätt, om hexagon är oregelbunden eller pyramiden är sned, sägs den vara en oregelbunden hexagonal pyramid.

egenskaper

Konkave eller konvex

En polygon är konvex om mätningen av alla inre vinklar är mindre än 180 grader. Geometriskt är detta ekvivalent med att säga att, med tanke på ett par punkter inom polygonen, finns linjesegmentet som sammanfogar dem i polygonen. Annars sägs polygonen vara konkav.

Om hexagon är konvex sägs pyramiden vara en konvex hexagonal pyramid. Annars sägs det vara en konkav hexagonal pyramid.

Kanter

Kanterna på en pyramid är sidorna på de sex trianglarna som utgör den.

Apothem

Pyramidens apotem är avståndet mellan toppmaterialet och sidorna på pyramidens bas. Denna definition är bara meningsfull när pyramiden är regelbunden, för om den är oregelbunden varierar detta avstånd beroende på triangeln som beaktas.

Däremot kommer i regelbundna pyramider att motsvara höjden på varje triangel (eftersom var och en är likställt) och det kommer att vara detsamma i alla trianglar.

Basens apotem är avståndet mellan en av sidorna på basen och dess centrum. Från hur det definieras, är basens apotem också meningsfullt bara i vanliga pyramider.

beteckningar

Höjden på en hexagonal pyramid kommer att betecknas med h , basens apotem (i det vanliga fallet) av APb och apotem för pyramiden (även i det vanliga fallet) av AP .

Ett kännetecken för vanliga hexagonala pyramider är att h , APb och AP bildar en höger triangel med hypotenuse AP och ben h och APb . Genom den Pythagorese teorem har vi att AP = √ (h ^ 2 + APb ^ 2).

Bilden ovan representerar en vanlig pyramid.

Hur beräknar man ytan? formler

Tänk på en vanlig sexkantig pyramid. Låt A vara måttet på varje sida av hexagon. Sedan motsvarar A måtten på basen i varje triangel i pyramiden och därför basens kanter.

Området för en polygon är produkten av omkretsen (summan av sidorna) och basens apotem, dividerat med två. För en hexagon skulle det vara 3 * A * APb.

Det kan ses att området för en vanlig hexagonal pyramid är lika med sex gånger arean för varje triangel i pyramiden plus basens area. Som tidigare nämnts motsvarar varje triangelns höjd pyramidens apotem.

Därför anges området för varje triangel i pyramiden av A * AP / 2. Således är området för en vanlig sexkantig pyramid 3 * A * (APb + AP), där A är en kant av basen, APb är basens apotem och AP pyrotens apotem.

Beräkning i oregelbundna hexagonala pyramider

När det gäller en oregelbunden hexagonal pyramid finns det ingen direkt formel för att beräkna ytan som i föregående fall. Detta beror på att varje triangel i pyramiden kommer att ha ett annat område.

I detta fall måste arean för varje triangel beräknas separat och basens area. Då är pyramidytan summan av alla områden som tidigare beräknats.

Hur beräknar du volymen? formler

Volymen för en pyramid med regelbunden hexagonal form är produkten från pyramidens höjd och basens area dividerat med tre. Således ges volymen för en vanlig hexagonal pyramid av A * APb * h, där A är en kant av basen, APb är basens apotem och h är pyramidens höjd.

Beräkning i oregelbundna hexagonala pyramider

Analogt med området, i fallet med en oregelbunden hexagonal pyramid finns det ingen direkt formel för att beräkna volymen eftersom kanterna på basen inte har samma mätning eftersom det är en oregelbunden polygon.

I detta fall måste basens area beräknas separat och volymen kommer att vara (h * Basens yta) / 3.

Exempel

Hitta området och volymen för en vanlig sexkantig pyramid med en höjd av 3 cm, vars bas är en vanlig hexagon på 2 cm på varje sida och bottenens botten är 4 cm.

Lösning

Först måste pyramidens (AP) apotem beräknas, vilket är den enda data som saknas. När man tittar på bilden ovan kan man se att pyramidens höjd (3 cm) och basens apotem (4 cm) bildar en rätt triangel; För att beräkna apotemet till pyramiden används därför Pythagoras teorem:

AP = √ (3 ^ 2 + 9 ^ 2) = √ (25) = 5.

Således använder man formeln ovan, att området är lika med 3 * 2 * (4 + 5) = 54 cm ^ 2.

Å andra sidan, med hjälp av volymformeln, erhålls att volymen för den givna pyramiden är 2 * 4 * 3 = 24 cm ^ 3.

referenser

1. Billstein, R., Libeskind, S., & Lott, JW (2013). Matematik: problemlösning för grundlärare. López Mateos Editors.
2. Fregoso, RS, & Carrera, SA (2005). Matematik 3. Redaktionell progreso.
3. Gallardo, G., & Pilar, PM (2005). Matematik 6. Redaktörsprogreso.
4. Gutiérrez, CT, & Cisneros, MP (2005). 3: e matematikkursen. Redaktörsprogreso.
5. Kinsey, L., & Moore, TE (2006). Symmetry, Shape and Space: En introduktion till matematik genom geometri (illustrerad, omtryckt red.). Springer Science & Business Media.
6. Mitchell, C. (1999). Bländande Math Line Designs (Illustrerad red.). Scholastic Inc.
7. R., MP (2005). Jag ritar 6: e. Redaktörsprogreso.