The Green 's teorem är en beräkningsmetod som används för att ansluta linjen integraler dubbla integraler eller ytarea. De involverade funktionerna måste betecknas som vektorfält och definieras inom sökvägen C.
Till exempel kan ett integrerat linjeuttryck vara mycket svårt att lösa; men genom att implementera Green's teorem blir dubbla integraler ganska grundläggande. Det är alltid viktigt att respektera banans positiva riktning, detta avser motsols riktning.
Green's teorem är ett speciellt fall av Stokes teorem, där projektionen av vektorfunktionen utförs i xy-planet.
Definition
Uttrycket av Green's Theorem är som följer:
Den första termen visar linjen integral definierad av banan "C", för skalprodukten mellan vektorfunktionen "F" och den för vektorn "r".
C: Det är den definierade banan som vektorfunktionen kommer att projiceras så länge den är definierad för det planet.
F: Vektorfunktion, där var och en av dess komponenter definieras av en funktion som sådan (f, g).
r: Det är en vektortangens till regionen R över vilken integralen definieras. I detta fall arbetar vi med en differensial för denna vektor.
Under den andra termen ser vi Green's teorem utvecklas, där den dubbla integralen som definieras i regionen R för skillnaden mellan partiella derivat av g och f observeras, med avseende på x respektive y. Med en areadifferens som inte är mer än produkten från båda tvådimensionella skillnader (dx.dy).
Denna sats är perfekt tillämpbar för rymd- och ytintegraler.
Demonstration
För att bevisa Green's teorem på ett enkelt sätt kommer denna uppgift att delas upp i två delar. Först och främst antar vi att vektorfunktionen F endast har en definition i versor i. Medan funktionen "g" motsvarar versorn j kommer att vara lika med noll.
Författare
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Först utvecklar vi linjen integrerad över väg C, för vilken banan har sektorerats i två sektioner som går först från a till b och sedan från b till a.
Definitionen av den grundläggande teorem för kalkyl tillämpas för en bestämd integral.
Uttrycket omorganiseras till en enda integral, det negativa görs till en gemensam faktor och faktorns ordning vänds.
När man observerar detta uttryck i detalj blir det uppenbart att när vi använder de primitiva funktionskriterierna är vi i närvaro av integralen av uttrycket härledd från f med avseende på y. Utvärderas i parametrar
Nu räcker det med att anta att vektorfunktionen F definieras endast för g (x, y) j . När man arbetar på ett sätt som liknar det föregående fallet, erhålls följande:
För att avsluta tas de två bevisen och sammanfogas i det fall vektorfunktionen tar värden för båda versorerna. På detta sätt visas hur linjen integrerad efter att ha definierats och betraktas som en endimensionell bana, kan utvecklas fullt ut för planet och rymden.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
På detta sätt bevisas Green's teorem.
tillämpningar
Tillämpningarna av Green's teorem är breda inom grenarna för fysik och matematik. Dessa omfattar alla applikationer eller användning som kan användas för linjeintegration.
Det mekaniska arbetet som utförs av en kraft F genom en bana C kan utvecklas av en linjeintegral som uttrycks som en dubbel integral av ett område av Green's teorem.
Tröghetsmomenten hos många organ som utsätts för yttre krafter på olika tillämpningspunkter svarar också på linjeintegraler som kan utvecklas med Green's teorem.
Detta har flera funktioner i resistensstudier av material som används. Där externa värden kan kvantifieras och beaktas innan utvecklingen av olika element.
I allmänhet underlättar Green's teorem förståelsen och definitionen av områden där vektorfunktioner definieras med avseende på en region längs en väg.
Historia
Det publicerades 1828 i arbetet Matematisk analys till teorierna om elektricitet och magnetism, skriven av den brittiska matematikern George Green. I det utforskas ganska avgörande avsnitt i tillämpningen av kalkylen i fysik, såsom begreppet potentiella funktioner, Gröns funktioner och tillämpningarna av hans självtitulerade teorem.
George Green formaliserade sin studentkarriär vid 40 års ålder och var hittills en helt självlärd matematiker. Efter att ha studerat vid University of Cambridge fortsatte han sin forskning och gjorde bidrag inom akustik, optik och hydrodynamik som fortfarande är giltiga idag.
Förhållande till andra teorem
Green's teorem är ett speciellt fall, och det härrör från 2 andra mycket viktiga satser inom kalkylområdet. Dessa är Kelvin-Stokes teorem och divergens eller Gauss Ostrogradski teorem.
Med utgångspunkt från någon av de två teorema kan man komma fram till Green's teorem. Vissa definitioner och förslag är nödvändiga för att utveckla sådana bevis.
övningar
- Följande övning visar hur man förvandlar en linjeintegral till en dubbelintegral med avseende på en region R.
Det ursprungliga uttrycket är följande:
Från var de motsvarande funktionerna af och g tas
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Det finns inget enda sätt att definiera gränserna för integration vid tillämpning av Green's teorem. Men det finns sätt på vilka integralerna efter att ha definierats kan vara enklare. Så optimeringen av integrationsgränserna förtjänar uppmärksamhet.
Var när vi löser integralerna får vi:
Detta värde motsvarar i kubiska enheter regionen under vektorfunktionen och över den triangulära regionen definierad av C.
När det gäller linjen integral utan att utföra Green's metod, skulle det ha varit nödvändigt att parametrera funktionerna i varje del av regionen. Det vill säga utföra 3 parametriserade integraler för upplösningen. Detta är ett tillräckligt bevis på den effektivitet som Robert Green förde med sin sats till kalkylen.
referenser
- Introduktion till Continuum Mechanics. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 jul. 2009
- Multivariatberäkning. James Stewart. Cengage Learning, 22 mars 2011
- En informell historia om Green's teorem och tillhörande idéer. James Joseph Cross. Institutionen för matematik, University of Melbourne, 1975
- Värmeledning med gröna funktioner. Kevin D. Cole, James V. Beck, A. Haji-Sheikh, Bahman Litkouhi. Taylor & Francis, 16 jul 2010
- Tillämpning av Green's teorem på extremisering av linjära integraler. Försvarets tekniska informationscenter, 1961