ISOSCELES TRIANGEL: EGENSKAPER, FORMEL OCH AREA, BERÄKNING - MATTE - 2025

En likbenad triangel är en polygon med tre sidor, där två av dem har samma mått och den tredje sidan en annan mått. Denna sista sida kallas basen. På grund av denna egenskap fick det detta namn, som på grekiska betyder "lika ben"

Trianglar är polygoner som anses vara de enklaste i geometri, eftersom de består av tre sidor, tre vinklar och tre toppar. Det är de som har minst antal sidor och vinklar med avseende på de andra polygonerna, men deras användning är mycket omfattande.

Egenskaper för likbeniga trianglar

Isosceles triangeln klassificerades med hjälp av måtten på dess sidor som en parameter, eftersom två av dess sidor är kongruenta (de har samma längd).

Baserat på de inre vinklarnas amplitud klassificeras likställiga trianglar som:

• Isosceles höger triangel : två av dess sidor är lika. Ett hörn är rak (90 ^eller ) och de andra är den samma (45 ^eller vardera)
• Isosceles stöt triangel : två av dess sidor är lika. En av vinklarna är stöt (> 90 ^eller ).
• Isosceles akut triangel : två av dess sidor är lika. Alla vinklar är akuta (<90 ^eller ) där båda har samma mått.

Komponenter

• Median : det är en linje som startar från mittpunkten på en sida och når motsatt topp. De tre medianerna möts vid en punkt som kallas barycenter eller centroid.
• Halvlinjen : det är en stråle som delar vinkeln på varje toppunkt i två lika stora mått. Det är därför det kallas symmetriaxeln och denna typ av trianglar har bara en.
• Halvpartiet : det är ett segment vinkelrätt mot triangelns sida, som har sitt ursprung i mitten av den. Det finns tre medier i en triangel och de möts vid en punkt som kallas circumcenter.
• Höjden : det är linjen som går från toppunktet till den sida som är motsatt och även denna linje är vinkelrätt mot den sidan. Alla trianglar har tre höjder, som sammanfaller i en punkt som kallas ortocentret.

Egenskaper

Isosceles trianglar definieras eller identifieras eftersom de har flera egenskaper som representerar dem, härrörande från de teorier som föreslagits av stora matematiker:

Inre vinklar

Summan av de invändiga vinklarna är alltid lika med 180 ^° .

Summan av sidorna

Summan av måtten på två sidor måste alltid vara större än måtten på den tredje sidan, a + b> c.

Congruent sidor

Isosceles trianglar har två sidor med samma mått eller längd; de är kongruenta och den tredje sidan skiljer sig från dessa.

Congruent vinklar

Isoscelet trianglar är också kända som isoangle trianglar, eftersom de har två vinklar som har samma mått (kongruent). Dessa är belägna vid basen av triangeln, mittemot sidorna som har samma längd.

På grund av detta genererades teoremet som säger att:

"Om en triangel har två kongruenta sidor, kommer vinklarna motsatt dessa sidor också att vara kongruenta." Därför, om en triangel är likbenad är vinklarna på dess baser kongruenta.

Exempel:

Följande bild visar en triangel ABC. Genom att dra sin halvdel från vinkeln B till basen delas triangeln i två lika trianglar BDA och BDC:

På detta sätt delades även vinkeln på toppunkt B i två lika vinklar. Halvan är nu den gemensamma sidan (BD) mellan dessa två nya trianglar, medan sidorna AB och BC är de sammanhängande sidorna. Således har vi fallet med sido-, vinkel-, sido- (LAL) kongruens.

Detta visar att vinklarna på topparna A och C har samma mått, liksom det kan också visas att eftersom trianglarna BDA och BDC är kongruenta, sidorna AD och DC också är kongruenta.

Höjd, median, bisector och bisector är sammanfallande

Linjen som dras från toppmotsidan motsatt basen till mittpunkten för basen i likbenets triangeln är på samma gång höjden, medianen och halvledaren samt halvan i förhållande till motsatt vinkel på basen.

Alla dessa segment sammanfaller i ett som representerar dem.

Exempel:

Följande bild visar triangeln ABC med en mittpunkt M som delar basen i två segment BM och CM.

Genom att dra ett segment från punkt M till motsatt topp, erhålls per definition median AM, vilket är relativt topppunkt A och sida BC.

Eftersom segment AM delar triangeln ABC i två lika trianglar AMB och AMC, betyder det att fallet med kongruenssida, vinkel, sida kommer att finnas och därför kommer AM också att vara bisektoren för BÂC.

Därför kommer halvledaren alltid att vara lika med median och vice versa.

Segment AM bildar vinklar som har samma mått för trianglar AMB och AMC; de är kompletterande på ett sådant sätt att måtten för var och en kommer att vara:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180 ^eller

2 _* Med. (AMC) = 180 ^eller

Med. (AMC) = 180 ^eller ÷ 2

Med. (AMC) = 90 ^eller

Det kan vara känt att vinklarna som bildas av segment AM med avseende på triangelns bas är rätt, vilket indikerar att detta segment är helt vinkelrätt mot basen.

Därför representerar den höjden och halvledaren, medveten om att M är mittpunkten.

Därför raden AM:

• Representerar på höjden av BC.
• Är medelstor.
• Det finns i bisectoren av BC.
• Det är halvparten av toppvinkeln Â

Relativa höjder

Höjder som är relativt lika sidor har också samma mätning.

Eftersom isosceles triangeln har två lika sidor är deras två respektive höjder också lika.

Ortocenter, barycenter, incenter och coincident circumcenter

Eftersom höjden, median, bisector och bisector relativt basen, representeras samtidigt av samma segment, kommer ortocentret, center barycenter och circumcenter att vara kollinära punkter, det vill säga de kommer att vara på samma linje:

Hur beräknar man omkretsen?

Polygons omkrets beräknas genom att lägga till sidorna.

Liksom i det här fallet har isosceles triangeln två sidor med samma mått, beräknas dess omkrets med följande formel:

P = 2 _* (sida a) + (sida b).

Hur beräknar man höjden?

Höjden är linjen vinkelrätt mot basen, den delar triangeln i två lika delar när den sträcker sig till motsatt topp.

Höjden representerar motsatt ben (a), mitten av basen (b / 2) det angränsande benet och sidan "a" representerar hypotenusen.

Med hjälp av Pythagorean teorem kan värdet på höjden bestämmas:

en ² + b ² = c ²

Var:

a ² = höjd (h).

b ² = b / 2.

c ² = sida a.

Att ersätta dessa värden i Pythagorean teorem och lösa höjden, har vi:

h ² + (b / 2) ² = a ²

h ² + b ² /4 = en ²

h ² = a ² - b ² / fyra

h = √ (a ² - b ² /4).

Om den vinkel som bildas av de sammanhängande sidorna är känd kan höjden beräknas med följande formel:

Hur beräknar man ytan?

Trianglarnas area beräknas alltid med samma formel, multiplicerar basen med höjd och delar med två:

Det finns fall där endast mätningarna av triangelns två sidor och vinkeln mellan dem är kända. I detta fall är det nödvändigt att tillämpa de trigonometriska förhållandena för att bestämma området:

Hur beräknar jag triangelns bas?

Eftersom isosceles triangeln har två lika sidor, för att bestämma värdet på dess bas måste du veta åtminstone höjden eller en av dess vinklar.

Genom att känna till höjden används Pythagorean teorem:

en ² + b ² = c ²

Var:

a ² = höjd (h).

c ² = sida a.

b ² = b / 2, är okänd.

Vi isolerar b ² från formeln och vi har:

b ² = en ² - c ²

b = √ a ² - c ²

Eftersom detta värde motsvarar halva basen måste det multipliceras med två för att erhålla det fullständiga måttet på basen i den likställiga triangeln:

b = 2 _* (√ a ² - c ² )

I det fall att endast värdet på dess lika sidor och vinkeln mellan dem är kända, appliceras trigonometri, och drar en linje från toppmottagningen till basen som delar likbenets triangel i två högra trianglar.

På detta sätt beräknas hälften av basen med:

Det är också möjligt att endast värdet på höjden och vinkeln på toppunktet som är mitt emot basen är kända. I så fall kan basen bestämmas med trigonometri:

övningar

Första övningen

Hitta området med likgilt triangeln ABC, veta att två av dess sidor är 10 cm och den tredje sidan är 12 cm.

Lösning

För att hitta triangelns area är det nödvändigt att beräkna höjden med hjälp av areaformeln som är relaterad till Pythagorean teorem, eftersom värdet på vinkeln som bildas mellan lika sidor inte är känt.

Vi har följande uppgifter om den likställiga triangeln:

• Lika sidor (a) = 10 cm.
• Bas (b) = 12 cm.

Värdena är substituerade i formeln:

Andra övningen

Längden på de två lika sidorna i en likställt triangel är 42 cm, sammansättningen av dessa sidor bildar en vinkel på 130 ^eller . Bestäm värdet på den tredje sidan, området för den triangeln och omkretsen.

Lösning

I detta fall är mätningarna av sidorna och vinkeln mellan dem kända.

För att veta värdet på den saknade sidan, det vill säga basen i den triangeln, dras en vinkelrätt linje till den som delar vinkeln i två lika delar, en för varje höger triangel som bildas.

• Lika sidor (a) = 42 cm.
• Vinkel (Ɵ) = 130 ^o

Med trigonometri beräknas nu värdet på hälften av basen, vilket motsvarar hälften av hypotenusen:

För att beräkna ytan är det nödvändigt att veta höjden på den triangeln, som kan beräknas med trigonometri eller med Pythagoras teorem, nu när basens värde redan har bestämts.

Genom trigonometri kommer det att vara:

Omkretsen beräknas:

P = 2 _* (sida a) + (sida b).

P = 2 _* (42 cm) + (76 cm)

P = 84 cm + 76 cm

P = 160 cm.

Tredje övningen

Beräkna de likvärdiga triangelns inre vinklar genom att veta att basens vinkel är  = 55 ^eller

Lösning

För att hitta de två saknade vinklarna (Ê och Ô) är det nödvändigt att komma ihåg två egenskaper för trianglar:

• Summan av de inre vinklarna i varje triangel kommer alltid att vara = 180 ^eller :

 + Ê + Ô = 180 ^eller

• I en likställt triangel är vinklarna på basen alltid kongruenta, det vill säga de har samma mått, därför:

 = Ô

Ê = 55 ^eller

För att bestämma värdet på vinkeln Ê, ersätter vi värdena för de andra vinklarna i den första regeln och löser för Ê:

55 ^eller + 55 ^eller + Ô = 180 ^eller

110 ^eller + Ô = 180 ^eller

Ô = 180 ^o - 110 ^o

Ô = 70 ^o .

referenser

1. Álvarez, E. (2003). Element i geometri: med många övningar och geometri av kompassen. University of Medellin.
2. Álvaro Rendón, AR (2004). Teknisk ritning: aktivitetsanteckningsbok.
3. Angel, AR (2007). Elementär algebra. Pearson Education.
4. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
5. Baldor, A. (1941). Algebra. Havanna: Kultur.
6. José Jiménez, LJ (2006). Matematik 2.
7. Tuma, J. (1998). Teknisk matematikhandbok. Wolfram MathWorld.