Den logaritmiska funktionen är en matematisk relation som associerar varje positivt reellt tal x med dess logaritm y på en bas a. Denna relation uppfyller kraven för att vara en funktion: varje element x som tillhör domänen har en unik bild.
Således:
Eftersom logaritmen baserad på ett nummer x är det tal y till vilket basen a måste höjas för att erhålla x.
-Bas logaritmen är alltid 1. Därmed skär grafen för f (x) = log a x alltid x-axeln vid punkten (1,0)
-Den logaritmiska funktionen är transcendent och kan inte uttryckas som ett polynom eller som en kvotient av dessa. Förutom logaritmen inkluderar denna grupp de trigonometriska funktionerna och den exponentiella, bland andra.
exempel
Den logaritmiska funktionen kan fastställas av olika baser, men de mest använda är 10 och e, där e är Euler-numret lika med 2.71828….
När bas 10 används kallas logaritmen en decimal logaritm, vanlig logaritm, Briggs 'eller bara vanlig logaritm.
Och om numret e används kallas det en naturlig logaritm efter John Napier, den skotska matematikern som upptäckte logaritmer.
Notationen som används för var och en är följande:
-Decimal logaritm: log 10 x = log x
-Neperian logaritm: ln x
När en annan bas kommer att användas är det absolut nödvändigt att ange det som ett subscript, eftersom logaritmen för varje nummer är olika beroende på basen som ska användas. Om det till exempel är logaritmer i bas 2, skriv:
y = log 2 x
Låt oss titta på logaritmen för numret 10 i tre olika baser för att illustrera denna punkt:
log 10 = 1
ln = 2,30259
log 2 10 = 3.32193
Vanliga kalkylatorer ger bara decimallogaritmer (logfunktion) och naturlig logaritm (ln-funktion). På Internet finns det kalkylatorer med andra baser. I alla fall kan läsaren med sin hjälp verifiera att de tidigare värdena är uppfyllda:
10 1 = 10
e 2,3026 = 10,0001
2 3,32193 = 10,0000
Små decimalskillnader beror på antalet decimaler som tas vid beräkningen av logaritmen.
Fördelarna med logaritmer
Bland fördelarna med att använda logaritmer är den lätthet de tillhandahåller för att arbeta med stort antal, genom att använda sin logaritm istället för antalet direkt.
Detta är möjligt eftersom logaritmfunktionen växer långsammare när siffrorna blir större, som vi kan se i diagrammet.
Så även med mycket stora antal är deras logaritmer mycket mindre, och att manipulera små nummer är alltid lättare.
Dessutom har logaritmer följande egenskaper:
- Produkt : log (ab) = log a + log b
- Kvotient : log (a / b) = log a - log b
- Power : logga a b = b.log a
Och på detta sätt blir produkterna och kvoterna tillägg och subtraktioner av mindre antal, medan empowerment blir en enkel produkt även om kraften är hög.
Det är därför logaritmer tillåter oss att uttrycka siffror som varierar i mycket stora värden, till exempel ljudintensiteten, pH-värdet för en lösning, stjärnornas ljusstyrka, det elektriska motståndet och jordbävningens intensitet på Richters skala.
Figur 2. Logaritmer används på Richters skala för att kvantifiera jordbävningens storlek. Bilden visar en kollapsad byggnad i Concepción, Chile, under jordbävningen 2010. Källa: Wikimedia Commons.
Låt oss se ett exempel på hanteringen av logaritmernas egenskaper:
Exempel
Hitta värdet på x i följande uttryck:
Svar
Vi har här en logaritmisk ekvation, eftersom det okända ligger i logaritmens argument. Det löses genom att lämna en enda logaritm på varje sida av jämställdheten.
Vi börjar med att placera alla termer som innehåller "x" till vänster om jämställdheten, och de som bara innehåller siffror till höger:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Till vänster har vi subtraktion av två logaritmer, som kan skrivas som en kvotients logaritm:
log = 1
Men till höger är numret 1, som vi kan uttrycka som log 10, som vi såg tidigare. Så:
log = log 10
För att jämställdhet ska vara sant måste logaritmernas argument vara lika:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 11/15
Ansökningsövning: Richter-skalan
1957 inträffade en jordbävning i Mexiko vars storlek var 7,7 på Richters skala. 1960 inträffade en annan jordbävning med större storlek i Chile, 9,5.
Beräkna hur många gånger jordbävningen i Chile var mer intensiv än den i Mexiko, medvetet om att storleken M R på Richters skala ges av formeln:
M R = log (10 4 I)
Lösning
Storleken på en jordbävning på Richters skala är en logaritmisk funktion. Vi kommer att beräkna intensiteten för varje jordbävning, eftersom vi har Richter-storleken. Låt oss göra det steg för steg:
- Mexiko : 7,7 = logg (10 4 I)
Eftersom det inversa av logaritmfunktionen är den exponentiella, tillämpar vi detta på båda sidor av jämlikheten med avsikt att lösa för I, vilket finns i logaritmens argument.
Eftersom det är decimallogaritmer är basen 10. Sedan:
10 7,7 = 10 4 I
Intensiteten för jordbävningen i Mexiko var:
I M = 10 7,7 / 10 4 = 10 3,7
- Chile : 9,5 = log (10 4 I)
Samma procedur leder oss till intensiteten av den chilenska I Ch jordbävningen :
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Nu kan vi jämföra båda intensiteterna:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. I M
Jordbävningen i Chile var cirka 63 gånger mer intensiv än den i Mexiko. Eftersom storleken är logaritmisk växer den långsammare än intensiteten, så en skillnad på 1 i storleken betyder en 10 gånger större amplitud hos den seismiska vågen.
Skillnaden mellan storleken på båda jordbävningarna är 1,8, därför kan vi förvänta oss en skillnad i intensiteter närmare 100 än till 10, som det faktiskt hände.
Om skillnaden hade varit exakt 2 skulle den chilenska jordbävningen faktiskt ha varit 100 gånger intensivare än den mexikanska.
referenser
- Carena, M. 2019. Matematikhandbok för universitetet. Litorals universitet.
- Figuera, J. 2000. Matematik 1: a. Diversifierat år. CO-BO-utgåvor.
- Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Beräkning av en variabel. 9:e. Utgåva. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5:e. Utgåva. Cengage Learning.