- Fundamentals
- geometriskt
- analytiskt
- axiomatiskt
- storheter
- Skalarstorlek
- Vektorstorlek
- Vad är vektorer?
- Modul
- Adress
- Känsla
- Klassificering av vektorer
- Fast vektor
- Gratis vektor
- Reglaget vektor
- Vektorers egenskaper
- Vektorer teamlinser
- Likvärdiga vektorer
- Vector jämlikhet
- Motsatta vektorer
- Enhetsvektor
- Null vektor
- Komponenter i en vektor
- exempel
- Första exemplet
- Andra exempel
- Vector operationer
- tillsats och subtraktion av vektorer
- Grafiska metoder
- Parallelogrammetod
- Triangelmetod
- analytiska metoder
- Geometrisk metod
- Multiplikation av vektorer
- Scalar produkt
- Vektorprodukt
- referenser
Den vektoralgebra är en gren av matematiken där utbildning linjära ekvationssystem, vektorer, matriser, vektorrum och linjära transformationer. Det är relaterat till områden som teknik, lösning av differentiella ekvationer, funktionsanalys, operationsforskning, datorgrafik, bland andra.
Ett annat område som linjär algebra har använt är fysik, eftersom det genom detta har varit möjligt att utveckla studien av fysiska fenomen och beskriva dem med hjälp av vektorer. Detta har möjliggjort en bättre förståelse av universum.
Fundamentals
Vektoralgebra härstammar från studien av kvaternioner (förlängning av verkliga siffror) 1, i, j och k, såväl som från den kartesiska geometri som Gibbs och Heaviside främjade, som insåg att vektorer skulle fungera som ett instrument för representerar olika fysiska fenomen.
Vectoralgebra studeras genom tre grunder:
geometriskt
Vektorer representeras av linjer som har en orientering, och operationer som tillägg, subtraktion och multiplikation med reella tal definieras genom geometriska metoder.
analytiskt
Beskrivningen av vektorer och deras funktioner görs med siffror, kallade komponenter. Denna typ av beskrivning är resultatet av en geometrisk representation eftersom ett koordinatsystem används.
axiomatiskt
En beskrivning av vektorerna görs, oavsett koordinatsystem eller någon typ av geometrisk representation.
Studien av figurer i rymden görs genom deras representation i ett referenssystem, som kan vara i en eller flera dimensioner. Bland de viktigaste systemen är:
- Endimensionellt system, som är en rak linje där en punkt (O) representerar ursprunget och en annan punkt (P) bestämmer skalan (längden) och dess riktning:
- Rektangulärt koordinatsystem (tvådimensionellt), som består av två vinkelräta linjer som kallas x-axeln och y-axeln, som passerar genom en punkt (O) ursprung; på detta sätt är planet indelat i fyra regioner som kallas kvadranter. I detta fall ges en punkt (P) i planet av avstånd som finns mellan axlarna och P.
- Polärt koordinatsystem (tvådimensionellt). I detta fall består systemet av en punkt O (ursprung) som kallas polen och en stråle med ursprung i O kallad polaraxeln. I detta fall anges planet P på planet, med hänvisning till polen och den polära axeln, av vinkeln (Ɵ), som bildas av avståndet som finns mellan ursprunget och punkten P.
- Rektangulärt tredimensionellt system, bildat av tre vinkelräta linjer (x, y, z) vars ursprung är en punkt O i rymden. Tre koordinatplan bildas: xy, xz och yz; utrymmet kommer att delas upp i åtta regioner som kallas oktanter. Hänvisningen till en punkt P i rymden ges av avstånd som finns mellan planen och P.
storheter
En storlek är en fysisk kvantitet som kan räknas eller mätas genom ett numeriskt värde, som i fallet med vissa fysiska fenomen; Men många gånger är det nödvändigt att kunna beskriva dessa fenomen med andra faktorer än numeriska. Det är därför storleken klassificeras i två typer:
Skalarstorlek
Det är de kvantiteter som definieras och representeras numeriskt; det vill säga med en modul tillsammans med en måttenhet. Till exempel:
a) Tid: 5 sekunder.
b) Massa: 10 kg.
c) Volym: 40 ml.
d) Temperatur: 40 ºC.
Vektorstorlek
Det är de kvantiteter som definieras och representeras av en modul tillsammans med en enhet, såväl som av en känsla och riktning. Till exempel:
a) Hastighet: (5ȋ - 3ĵ) m / s.
b) Acceleration: 13 m / s 2 ; S 45º E.
c) Kraft: 280 N, 120º.
d) Vikt: -40 ĵ kg-f.
Vektorkvantiteter representeras grafiskt av vektorer.
Vad är vektorer?
Vektorer är grafiska representationer av en vektorkvantitet; det vill säga de är linjesegment där deras slutliga ände är toppen av en pil.
Dessa bestäms av dess modul eller segmentlängd, dess riktning som indikeras av pilens spets och dess riktning enligt linjen till vilken den tillhör. Ursprunget till en vektor är också känd som tillämpningspunkten.
Elementen i en vektor är följande:
Modul
Det är avståndet från ursprunget till slutet av en vektor, representerat av ett reellt tal tillsammans med en enhet. Till exempel:
-OM- = -A- = A = 6 cm
Adress
Det är måttet på vinkeln som finns mellan x-axeln (från den positiva) och vektorn, liksom kardinalpunkterna (norr, söder, öst och väst) används.
Känsla
Det ges av pilspetsen som ligger i slutet av vektorn och indikerar vart den ska.
Klassificering av vektorer
Generellt klassificeras vektorer som:
Fast vektor
Det är en vars tillämpningspunkt (ursprung) är fast; det vill säga den förblir kopplad till en punkt i rymden, så den kan inte röra sig i den.
Gratis vektor
Den kan röra sig fritt i rymden eftersom dess ursprung rör sig till någon punkt utan att ändra sin modul, riktning eller riktning.
Reglaget vektor
Det är en som kan överföra sitt ursprung längs sin handlingslinje utan att ändra sin modul, riktning eller riktning.
Vektorers egenskaper
Bland de viktigaste egenskaperna hos vektorer är följande:
Vektorer teamlinser
Det är de fria vektorerna som har samma modul, riktning (eller de är parallella) och känns som en glidvektor eller en fast vektor.
Likvärdiga vektorer
Det inträffar när två vektorer har samma riktning (eller är parallella), samma känsla, och trots att de har olika moduler och tillämpningspunkter orsakar de samma effekter.
Vector jämlikhet
Dessa har samma modul, riktning och känsla, även om deras utgångspunkter är olika, vilket gör att en parallellvektor kan översätta sig själv utan att påverka den.
Motsatta vektorer
Det är de som har samma modul och riktning, men deras betydelse är motsatt.
Enhetsvektor
Det är en där modulen är lika med enheten (1). Detta erhålls genom att dela vektorn med sin modul och används för att bestämma riktningen och känslan för en vektor, antingen i planet eller i rymden, med hjälp av basen eller normaliserade enhetsvektorer, vilka är:
Null vektor
Det är en vars modul är lika med 0; det vill säga dess ursprungspunkt och slut sammanfaller på samma punkt.
Komponenter i en vektor
Komponenterna i en vektor är värdena på projektionerna för vektorn på referenssystemets axlar; Beroende på nedbrytningen av vektorn, som kan vara på två eller tredimensionella axlar, kommer två eller tre komponenter att erhållas.
Komponenterna i en vektor är verkliga tal, som kan vara positiva, negativa eller till och med noll (0).
Således, om vi har en vektor Ā, med ursprung i ett rektangulärt koordinatsystem i xy-planet (tvådimensionellt), är projektionen på x-axeln Āx och projektionen på y-axeln är Āy. Således kommer vektorn att uttryckas som summan av dess komponentvektorer.
exempel
Första exemplet
Vi har en vektor Ā som börjar från ursprunget och koordinaterna för dess ändar ges. Således är vektorn Ā = (Ā x , A y ) = (4, 5) cm.
Om vektorn Ā verkar vid ursprunget till ett tredimensionellt triangulärt koordinatsystem (i rymden) x, y, z, upp till en annan punkt (P), kommer utsprången på dess axlar att vara Āx, Āy och Āz; alltså kommer vektorn att uttryckas som summan av dess tre komponentvektorer.
Andra exempel
Vi har en vektor Ā som börjar från ursprunget och koordinaterna för dess ändar ges. Således är vektorn Ā = ( Ax , A y, A z ) = (4, 6, -3) cm.
Vektorer som har sina rektangulära koordinater kan uttryckas i termer av deras basvektorer. För detta måste varje koordinat endast multipliceras med sin respektive enhetsvektor, på sådant sätt att de för planet och rymden kommer att vara följande:
För planet: Ā = A x i + A y j.
För utrymmet: Ā = A x i + A y j + A z k.
Vector operationer
Det finns många mängder som har en modul, känsla och riktning, såsom acceleration, hastighet, förskjutning, kraft, bland andra.
Dessa tillämpas inom olika vetenskapsområden, och för att tillämpa dem är det i vissa fall nödvändigt att utföra operationer som tillägg, subtraktion, multiplikation och uppdelning av vektorer och skalor.
tillsats och subtraktion av vektorer
Tillsats och subtraktion av vektorer betraktas som en enda algebraisk operation eftersom subtraktionen kan skrivas som en summa; till exempel kan subtraktionen av vektorerna Ā och Ē uttryckas som:
Ā - Ē = Ā + (-Ē)
Det finns olika metoder för att utföra tillägg och subtraktion av vektorer: de kan vara grafiska eller analytiska.
Grafiska metoder
Används när en vektor har modul, riktning och riktning. För detta dras linjer som bildar en siffra som senare hjälper till att bestämma resultatet. Bland de mest kända är följande:
Parallelogrammetod
För att göra tillägg eller subtraktion av två vektorer, väljs en gemensam punkt på koordinataxeln - som kommer att representera vektorernas ursprungspunkt - och behålla dess modul, riktning och riktning.
Linjer dras sedan parallellt med vektorerna för att bilda ett parallellogram. Den resulterande vektorn är diagonalen som går från båda vektorns ursprungspunkt till parallellogrammets topp:
Triangelmetod
I denna metod placeras vektorerna en efter en och håller sina moduler, anvisningar och vägbeskrivningar. Den resulterande vektorn blir sammanslutningen av ursprunget för den första vektorn med slutet av den andra vektorn:
analytiska metoder
Två eller flera vektorer kan läggas till eller subtraheras genom en geometrisk eller vektormetod:
Geometrisk metod
När två vektorer bildar en triangel eller parallellogram, m) .push ({});
- Scalar fördelande egenskap: om en vektor multipliceras med summan av två skalar, är den lika med multiplikationen av vektorn för varje skalär.
Multiplikation av vektorer
Multiplikation eller produkt av vektorer kan göras som tillägg eller subtraktion, men att göra det på så sätt förlorar den fysiska betydelsen och finns nästan aldrig i applikationer. Av denna anledning är de vanligaste produkttyperna skalan och vektorprodukten.
Scalar produkt
Det är också känt som prickprodukten av två vektorer. När modulerna för två vektorer multipliceras med kosinus i den minsta vinkeln som bildas mellan dem, erhålls en skala. För att uttrycka en skalprodukt mellan två vektorer placeras en punkt mellan dem, och detta kan definieras som:
Värdet på vinkeln som finns mellan de två vektorerna kommer att bero på om de är parallella eller vinkelräta; Därför måste du:
- Om vektorerna är parallella och har samma känsla, kosinus 0º = 1.
- Om vektorerna är parallella och har motsatta riktningar, kosinus 180º = -1.
- Om vektorerna är vinkelräta, kosinus 90º = 0.
Denna vinkel kan också beräknas med vetskap om att
Punktprodukten har följande egenskaper:
- Kommutativ egenskap: vektorernas ordning förändrar inte skalan.
-Distributiv egenskap: om en skala multipliceras med summan av två vektorer är den lika med multiplikationen av skalan för varje vektor.
Vektorprodukt
Vektormultiplikation, eller korsprodukt av två vektorer A och B, kommer att resultera i en ny vektor C och uttrycks med hjälp av ett kors mellan vektorerna:
Den nya vektorn kommer att ha sina egna egenskaper. Åt det hållet:
- Riktningen: denna nya vektor kommer att vara vinkelrätt mot planet, som bestäms av de ursprungliga vektorerna.
- Riktningen: detta bestäms med högerhandens regel, där vektor A roteras mot B, vilket indikerar rotationsriktningen med fingrarna, och vektorns riktning markeras med tummen.
- Modulen: den bestäms av multiplikationen av modulerna för vektorerna AxB, av sinus för den minsta vinkeln som finns mellan dessa vektorer. Det uttrycks:
Värdet på vinkeln som finns mellan de två vektorerna beror på om de är parallella eller vinkelräta. Så det är möjligt att ange följande:
- Om vektorerna är parallella och har samma känsla, är sin 0º = 0.
- Om vektorerna är parallella och har motsatta riktningar, är sinus 180º = 0.
- Om vektorerna är vinkelräta, är 90 ° = 1.
När en vektorprodukt uttrycks i termer av dess basvektorer har vi:
Punktprodukten har följande egenskaper:
- Det är inte kommutativt: vektorernas ordning förändrar skalan.
- Distributiv egenskap: om en skala multipliceras med summan av två vektorer är den lika med multiplikationen av skalan för varje vektor.
referenser
- Altman Naomi, MK (2015). "Enkel linjär regression." Naturmetoder.
- Angel, AR (2007). Elementär algebra. Pearson Education,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
- Gusiatnikov, P., & Reznichenko, S. (nd). Algebravektor i exempel. Moskva: Mir.
- Lay, DC (2007). Linjär algebra och dess tillämpningar. Pearson Education.
- Llinares, JF (2009). Linjär algebra: vektorutrymme. Euklidisk vektorutrymme. University of Alicante.
- Mora, JF (2014). Linjär algebra. Hemland.