KOMPLEXA NUMMER: EGENSKAPER, EXEMPEL, OPERATIONER - MATTE - 2025

De komplexa siffrorna är den numeriska uppsättningen som täcker verkliga siffror och alla rötter till polynomema inklusive parrötter med negativa tal. Dessa rötter finns inte i uppsättningen av verkliga siffror, men i komplexa nummer finns lösningen.

Ett komplext nummer består av en verklig del och en del som kallas "imaginär". Den verkliga delen kallas till exempel en, och den imaginära delen ib, med verkliga siffror a och b och "i" som den imaginära enheten. På detta sätt tar det komplexa antalet formen:

Figur 1.- Binomial representation av ett komplext antal när det gäller verklig del och imaginär del. Källa: Pixabay.

Exempel på komplexa siffror är 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Men innan vi arbetar med dem, låt oss se var den imaginära enheten jag kommer från, med tanke på denna kvadratiska ekvation:

x ² - 10x + 34 = 0

Vari a = 1, b = -10 och c = 34.

När vi använder lösningsformeln för att bestämma lösningen hittar vi följande:

Hur bestämmer jag värdet på √-36? Det finns inget verkligt tal som kvadrat ger en negativ mängd. Sedan dras slutsatsen att denna ekvation inte har några verkliga lösningar.

Vi kan dock skriva detta:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Om vi ​​definierar ett visst värde x så att:

x ² = -1

Så:

x = ± √-1

Och ovanstående ekvation skulle ha en lösning. Därför definierades den imaginära enheten som:

i = √-1

Och så:

√-36 = 6i

Många matematiker från antiken arbetade med att lösa liknande problem, särskilt Renaissance Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) och Raffaele Bombelli (1526-1572).

År senare kallade René Descartes (1596-1650) kvantiteterna "imaginära" som √-36 i exemplet. Av denna anledning är √-1 känd som den imaginära enheten.

Egenskaper för komplexa siffror

-Sättningen av komplexa siffror betecknas som C och innehåller de verkliga siffrorna R och de imaginära siffrorna Im. Nummeruppsättningarna representeras i ett Venn-diagram, som visas i följande figur:

Figur 2. Venn-diagram över siffror Källa: F. Zapata.

-Alla komplexa nummer består av en riktig del och en imaginär del.

-När den imaginära delen av ett komplext tal är 0 är det ett rent verkligt tal.

-Om den verkliga delen av ett komplext tal är 0, är ​​antalet rent imaginärt.

-Två komplexa siffror är lika om deras respektive verkliga del och imaginära del är desamma.

-Med komplexa antal utförs de kända operationerna för tillsats, subtraktion, multiplikation, produkt och förbättring, vilket resulterar i ett annat komplext nummer.

Representation av komplexa antal

Komplexa nummer kan representeras på olika sätt. Här är de viktigaste:

- Binomial form

Det är den form som ges i början, där z är det komplexa talet, a är den verkliga delen, b är den imaginära delen och i är den imaginära enheten:

Eller också:

Ett sätt att diagram det komplexa antalet är genom det komplexa planet som visas i denna figur. Den imaginära axeln Im är vertikal medan den verkliga axeln är horisontell och betecknas Re.

Det komplexa antalet z representeras i detta plan som en punkt för koordinater (x, y) eller (a, b), som det görs med punkterna på det verkliga planet.

Avståndet från ursprunget till punkten z är modulen med det komplexa talet, betecknat som r, medan φ är vinkeln som r gör med den verkliga axeln.

Figur 3. Representation av ett komplext nummer i det komplexa planet. Källa: Wikimedia Commons.

Denna representation är nära besläktad med den för vektorer i det verkliga planet. Värdet på r motsvarar modulet för det komplexa antalet.

- Polar form

Den polära formen består av att uttrycka det komplexa antalet genom att ge värdena för r och av φ. Om vi ​​tittar på figuren, motsvarar värdet på r hypotenusen för en höger triangel. Benen är värda a och b, eller x och y.

Från den binomiala eller binomiala formen kan vi flytta till den polära formen genom att:

Vinkeln φ är den som bildas av segmentet r med den horisontella axeln eller den imaginära axeln. Det är känt som det komplexa talargumentet. På det här sättet:

Argumentet har oändliga värden, med hänsyn tagen till att varje gång en sväng, som är värt 2π radianer, r innehar samma position igen. På detta allmänna sätt uttrycks argumentet från z, betecknat Arg (z), så här:

Där k är ett heltal och används för att ange antalet svarvade svängar: 2, 3, 4…. Skylten indikerar rotationsriktningen, om den är medurs eller moturs.

Bild 4. Polär representation av ett komplext nummer i det komplexa planet. Källa: Wikimedia Commons.

Och om vi vill gå från polär form till binomform använder vi de trigonometriska förhållandena. Från föregående figur kan vi se att:

x = r cos φ

y = r sin φ

På detta sätt z = r (cos φ + i sin φ)

Vilket är förkortat så här:

z = r cis φ

Exempel på komplexa antal

Följande komplexa nummer anges i binomial form:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Och dessa i form av ett beställt par:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Slutligen ges denna grupp i polär eller trigonometrisk form:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Vad är de för?

Användbarheten av komplexa siffror går längre än att lösa den kvadratiska ekvationen som visas i början, eftersom de är väsentliga inom teknik och fysik, särskilt inom:

-Studiet av elektromagnetiska vågor

-Analys av växelström och spänning

-Modelleringen av alla slags signaler

-Relativitetsteorin, där tiden antas som en imaginär storlek.

Komplexa antalet operationer

Med komplexa siffror kan vi utföra alla operationer som görs med riktiga. Vissa är lättare att göra om siffrorna kommer i binomial form, som tillägg och subtraktion. Däremot är multiplikation och delning enklare om de utförs med den polära formen.

Låt oss se några exempel:

- Exempel 1

Lägg till z ₁ = 2 + 5i och z ₂ = -3 -8i

Lösning

De verkliga delarna läggs separat från de imaginära delarna:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- Exempel 2

Multiplicera z ₁ = 4 cis 45º och z ₂ = 5 cis 120º

Lösning

Det kan visas att produkten med två komplexa tal i polär eller trigonometrisk form ges av:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Enligt det här:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Ansökan

En enkel tillämpning av komplexa nummer är att hitta alla rötter till en polynomekvation som den som visas i början av artikeln.

När det gäller ekvationen x ² - 10x + 34 = 0, tillämpar upplösningsformeln vi får:

Därför är lösningarna:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

referenser

1. Earl, R. Komplexa nummer. Återställdes från: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 1: a. Diversifierad. CO-BO-utgåvor.
3. Hoffmann, J. 2005. Val av matematikämnen. Monfort-publikationer.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
5. Wikipedia. Komplexa tal. Återställd från: en.wikipedia.org