IRRATIONELLA NUMMER: HISTORIK, EGENSKAPER, KLASSIFICERING, EXEMPEL - MATTE - 2025

De irrationella siffrorna är de vars uttryck har oändliga decimaltal utan att upprepa ett mönster därför inte kan erhållas från förhållandet mellan två heltal.

Bland de mest kända irrationella siffrorna är:

Figur 1. Från topp till botten följande irrationella siffror: pi, Eulers antal, det gyllene förhållandet och två fyrkantiga rötter. Källa: Pixabay.

Bland dem är utan tvekan π (pi) det mest kända, men det finns många fler. Alla tillhör uppsättningen verkliga siffror, som är den numeriska uppsättningen som grupperar rationella och irrationella siffror.

Ellipsen i figur 1 indikerar att decimalerna fortsätter på obestämd tid, vad som händer är att utrymmet för vanliga kalkylatorer endast tillåter några få att visas.

Om vi ​​tittar noggrant, när vi gör kvoten mellan två hela siffror, får vi en decimal med begränsade siffror eller om inte, med oändliga siffror där en eller flera upprepas. Det här händer inte med irrationella siffror.

Historia med irrationella antal

Den stora forntida matematikern Pythagoras, född 582 f.Kr. i Samos, Grekland, grundade Pythagorean tankeskola och upptäckte det berömda teorem som bär hans namn. Vi har det här till vänster (babylonierna kanske känner till det länge innan).

Bild 2. Pythagoras teorem tillämpas på en triangel med sidor lika med 1. Källa: Pixabay / Wikimedia Commons.

Tja, när Pythagoras (eller förmodligen en lärjunge av hans) applicerade teoremet på en höger triangel med sidor lika med 1, fann han det irrationella talet √2.

Han gjorde det på detta sätt:

c = √1 ² + 1 ² = √1 + 1 = √2

Och han insåg genast att detta nya nummer inte kom från kvoten mellan två andra naturliga nummer, som var de som var kända vid den tiden.

Han kallade det därför irrationellt, och upptäckten orsakade stor ångest och förvirring bland pytagoreerna.

Egenskaper för irrationella nummer

-Den uppsättning av alla irrationella tal betecknas med bokstaven I och ibland som Q * eller Q ^C . Sambandet mellan de irrationella siffrorna I eller Q * och de rationella siffrorna Q ger upphov till uppsättningen verkliga siffror R.

-Med irrationella nummer kan de kända aritmetiska operationerna utföras: tillägg, subtraktion, multiplikation, division, empowerment och mer.

-Delen med 0 definieras inte heller mellan irrationella siffror.

-Summan och produkten mellan irrationella nummer är inte nödvändigtvis ett annat irrationellt nummer. Till exempel:

√2 x √8 = √16 = 4

Och 4 är inte ett irrationellt tal.

-Summan av ett rationellt tal plus ett irrationellt tal ger emellertid ett irrationellt resultat. På det här sättet:

1 + √2 = 2.41421356237 …

-Produkten av ett rationellt antal som skiljer sig från 0 med ett irrationellt nummer är också irrationellt. Låt oss titta på detta exempel:

2 x √2 = 2.828427125 …

-Inversionen av ett irrationellt resulterar i ett annat irrationellt nummer. Låt oss prova några:

1 / √2 = 0,707106781 …

1 / √3 = 0,577350269 …

Dessa nummer är intressanta eftersom de också är värdena för några trigonometriska förhållanden med kända vinklar. De flesta av de trigonometriska förhållandena är irrationella siffror, men det finns undantag, till exempel sin 30º = 0,5 = ½, vilket är rationellt.

-I summan uppfylls de kommutativa och associerande egenskaperna. Om a och b är två irrationella siffror, betyder detta att:

a + b = b + a.

Och om c är ett annat irrationellt nummer, då:

(a + b) + c = a + (b + c).

-Den fördelande egenskapen med multiplikation med avseende på tillägg är en annan välkänd egenskap som också gäller för irrationella antal. I detta fall:

a. (b + c) = ab + ac

-En irrationell a har motsatsen: -a. När de läggs samman är resultatet 0:

a + (- a) = 0

-Mellan två olika rationaler finns det åtminstone ett irrationellt antal.

Plats för ett irrationellt nummer på den riktiga linjen

Den verkliga linjen är en horisontell linje där de verkliga siffrorna finns, varav de irrationella siffrorna är en viktig del.

För att hitta ett irrationellt nummer på den riktiga linjen, i geometrisk form, kan vi använda Pythagorean-stämningen, en linjal och en kompass.

Som ett exempel kommer vi att lokalisera √5 på den riktiga linjen, för vilken vi ritar en höger triangel med sidorna x = 2 och y = 1, som visas i figuren:

Figur 3. Metod för att hitta ett irrationellt nummer på den verkliga linjen. Källa: F. Zapata.

Genom den Pythagorese teorem är hypotenusen för en sådan triangel:

c = √2 ² + 1 ² = √4 + 1 = √5

Nu är kompassen placerad med punkten 0, där en av topparna i den högra triangeln också är. Spetsen med kompasspennan bör vara i toppunkt A.

En omkretsbåge dras som skär till den riktiga linjen. Eftersom avståndet mellan omkretsens centrum och vilken punkt som helst på den är radien, som är lika med √5, är skärningspunkten också långt √5 från mitten.

Från diagrammet framgår att √5 är mellan 2 och 2,5. En räknare ger oss ungefärligt värde på:

√5 = 2.236068

Och så genom att bygga en triangel med lämpliga sidor kan andra irrationella lokaliseras, till exempel √7 och andra.

Klassificering av irrationella siffror

Irrationella nummer klassificeras i två grupper:

-Algebraisk

-Transcendental eller transcendental

Algebraiska siffror

Algebraiska siffror, som kanske eller inte är irrationella, är lösningar av polynomekvationer vars allmänna form är:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + …. + a ₁ x + a _o = 0

Ett exempel på en polynomekvation är en kvadratisk ekvation som denna:

x ³ - 2x = 0

Det är lätt att visa att det irrationella talet √2 är en av lösningarna i denna ekvation.

Transcendenta siffror

Å andra sidan uppstår de transcendenta siffrorna, även om de är irrationella, aldrig som en lösning på en polynomekvation.

De transcendenta siffrorna som förekommer oftast i tillämpad matematik är π på grund av dess förhållande till omkretsen och antalet e, eller Eulers tal, som är basen för naturliga logaritmer.

Träning

En grå fyrkant placeras på en svart fyrkant i det läge som anges i figuren. Det är känt att det svarta torget är 64 cm ² . Hur mycket är längden på båda rutorna?

Bild 4. Två rutor, av vilka vi vill hitta sidornas längd. Källa: F. Zapata.

Svar

Ytan på en kvadrat med sidan L är:

A = L ²

Eftersom den svarta fyrkanten är 64 cm ² i yta måste dess sida vara 8 cm.

Denna mätning är densamma som diagonalen på den grå fyrkanten. Att tillämpa den Pythagorese teoremet på denna diagonal, och komma ihåg att sidorna på en kvadrat mäter samma, kommer vi att ha:

8 ² = L _g ² + L _g ²

Där _Lg är sidan av den grå fyrkanten.

Därför: 2L _g ² = 8 ²

Tillämpa kvadratrot på båda sidor av jämställdheten:

L _g = (8 / √2) cm

referenser

1. Carena, M. 2019. Matematikhandbok för universitetet. Litorals universitet.
2. Figuera, J. 2000. Matematik 9. Grad. CO-BO-utgåvor.
3. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice Hall.
4. Utbildningsportal. Irrationella antal och deras egenskaper. Återställd från: portaleducativo.net.
5. Wikipedia. Irrationella siffror. Återställd från: es.wikipedia.org.