BIJEKTIV FUNKTION: VAD ÄR DET, HUR GÖRS DET, EXEMPEL, ÖVNINGAR - MATTE - 2025

En bijektiv funktion är en som uppfyller det dubbla villkoret att vara injektiv och surektiv . Det vill säga, alla elementen i domänen har en enda bild i Målmängd, och i vrid Målmängd är lika med rangen av funktionen ( R _f ).

Det uppfylls genom att betrakta ett en-till-en-förhållande mellan elementen i domänen och codomain. Ett enkelt exempel är funktionen F: R → R definierad av linjen F (x) = x

Källa: Författare

Det observeras att för varje värde på domänen eller startuppsättningen (båda villkoren gäller lika) finns det en enda bild i kodmän eller ankomstuppsättning. Dessutom finns det inget annat element i codomain än bild.

På detta sätt är F: R → R definierad av linjen F (x) = x bijektiv

Hur gör du en bijektiv funktion?

För att svara på detta är det nödvändigt att vara tydlig med begrepp som rör injektivitet och överjektivitet för en funktion , liksom kriterierna för konditioneringsfunktioner för att anpassa dem till kraven.

Injektivitet av en funktion

En funktion är injektiv när vart och ett av elementen i dess domän är relaterat till ett enda element i codomain. Ett element i codomainen kan endast vara bilden av ett enda element i domänen, på detta sätt kan inte värdena på den beroende variabeln upprepas.

För att överväga ett injektionsfunktion måste följande uppfyllas:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Övergripande funktioner för en funktion

En funktion klassificeras som surektiv om varje element i dess codomain är en bild av minst ett element i domänen.

Att tänka på en funktion surjektiv måste följande uppfyllas:

Låt F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Detta är det algebraiska sättet att fastställa att för varje "b" som tillhör _Cf finns det ett "a" som tillhör _Df så att funktionen som utvärderas i "a" är lika med "b".

Funktionskonditionering

Ibland kan en funktion som inte är bijektiv underkastas vissa villkor. Dessa nya förhållanden kan göra det till en bijektiv funktion. Alla typer av ändringar av funktionens domän och codomain är giltiga, där målet är att uppfylla egenskaperna för injektivitet och övergripande i motsvarande förhållande.

Exempel: lösta övningar

Övning 1

Låt funktionen F: R → R definieras av linjen F (x) = 5x +1

A:

Det observeras att för varje värde på domänen finns det en bild i codomain. Denna bild är unik vilket gör F till en injektionsfunktion . På samma sätt observerar vi att codomainen för funktionen är lika med dess rang. Således uppfyller villkoret för övergripande .

Att vara injektiv och surektiv på samma gång kan vi dra slutsatsen

F: R → R definierad av linjen F (x) = 5x +1 är en bijektiv funktion.

Detta gäller alla linjära funktioner (funktioner vars högsta grad av variabeln är en).

Övning 2

Låt funktionen F: R → R definieras av F (x) = 3x ² - 2

När man drar en horisontell linje observeras att grafen hittas vid mer än ett tillfälle. På grund av detta är funktionen F inte injicerande och därför kommer den inte att vara bijektiv så länge den är definierad i R → R

På liknande sätt finns det codomain-värden som inte är bilder av något element i domänen. På grund av detta är funktionen inte objektiv, vilket också förtjänar att konditionera ankomstuppsättningen.

Vi fortsätter med att konditionera domänen och codomainen för funktionen

F: →

Där observeras att den nya domänen täcker värdena från noll till positiv oändlighet. Undvik att upprepa värden som påverkar injektivitet.

På samma sätt har kodomänet modifierats, räknat från "-2" till positiv oändlighet, vilket eliminerar från kodomännet de värden som inte motsvarade något element i domänen

På detta sätt kan det säkerställas att F : → definieras av F (x) = 3x ² - 2

Det är bijektiv

Övning 3

Låt funktionen F: R → R definieras av F (x) = Sen (x)

I intervallet varierar sinusfunktionen dess resultat mellan noll och ett.

Källa: Författare.

Funktionen F överensstämmer inte med kriterierna för injektivitet och övergripande, eftersom värdena för den beroende variabeln upprepas varje intervall av π. Dessutom är villkoren för codomain utanför intervallet inte en bild av något element i domänen.

När man studerar grafen för funktionen F (x) = Sen (x) observeras intervall där kurvens beteende uppfyller kriterierna för bijektivitet . Som till exempel det intervall D _f = för domänen. Och C _f = för Målmängd.

Där funktionen varierar resultat från 1 till -1, utan att upprepa något värde i den beroende variabeln. Och samtidigt är codomainet lika med de värden som antas av uttrycket Sen (x)

Således är funktionen F: → definierad av F (x) = Sen (x). Det är bijektiv

Övning 4

Ange nödvändiga villkor för _Df och C _f . Så uttrycket

F (x) = -x ² vara bijektiv.

Källa: Författare

Upprepningen av resultat observeras när variabeln tar motsatta värden:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Domänen är konditionerad och begränsar den till höger om den riktiga linjen.

D _f =

På samma sätt observeras att intervallet för denna funktion är intervallet, som när man fungerar som en kodomän uppfyller villkoren för överlevnad.

På detta sätt kan vi dra slutsatsen

Uttrycket F: → definierat av F (x) = -x ² Det är bijektiv

Föreslagna övningar

Kontrollera om följande funktioner är bijektiva:

F: → R definierad av F (x) = 5ctg (x)

F: → R definierad av F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R definierad av linjen F (x) = -5x + 4

referenser

1. Introduktion till logik och kritiskt tänkande. Merrilee H. Salmon. University of Pittsburgh
2. Problem i matematisk analys. Piotr Biler, Alfred Witkowski. University of Wroclaw. Polen.
3. Element av abstrakt analys. Mícheál O'Searcoid PhD. Institutionen för matematik. University college Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. Introduktion till logik och metodiken för deduktiva vetenskaper. Alfred Tarski, New York Oxford. Oxford University press.
5. Principer för matematisk analys. Enrique Linés Escardó. Redaktör Reverté S. A 1991. Barcelona Spanien.