VAD ÄR TRIGONOMETRISKA GRÄNSER? (ÖVNINGAR LÖST) - MATTE - 2025

De trigonometriska gränserna är gränser för funktioner så att dessa funktioner bildas av trigonometriska funktioner.

Det finns två definitioner som måste vara kända för att förstå hur man beräknar en trigonometrisk gräns.

Dessa definitioner är:

- Begränsning av en funktion «f» när «x» tenderar att «b»: den består av att beräkna värdet som f (x) närmar sig när «x» närmar sig «b», utan att nå «b» ».

- Trigonometriska funktioner: de trigonometriska funktionerna är sinus-, kosinus- och tangensfunktionerna, betecknade med sin (x), cos (x) respektive solbränna (x).

De andra trigonometriska funktionerna erhålls från de tre ovan nämnda funktionerna.

Funktionsgränser

För att förtydliga begreppet en funktionsgräns kommer vi att visa några exempel med enkla funktioner.

- Gränsen för f (x) = 3 när "x" tenderar att "8" är lika med "3", eftersom funktionen alltid är konstant. Oavsett hur mycket "x" är värt kommer värdet på f (x) alltid att vara "3".

- Gränsen för f (x) = x-2 när «x» tenderar att «6» är «4». Eftersom när "x" närmar sig "6" då "x-2" närmar sig "6-2 = 4".

- Gränsen för g (x) = x² när "x" tenderar att "3" är lika med 9, eftersom när "x" närmar sig "3" då "x²" närmar sig "3² = 9" .

Som framgår av de tidigare exemplen består beräkning av en gräns av att utvärdera värdet som "x" tenderar till funktionen, och resultatet kommer att vara gränsvärdet, även om detta bara gäller för kontinuerliga funktioner.

Finns det mer komplicerade gränser?

Svaret är ja. Ovanstående exempel är de enklaste exemplen på gränser. I kalkylböcker är huvudgränsövningarna de som genererar en obestämbarhet av typen 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 och (∞) ^ 0.

Dessa uttryck kallas indeterminacies eftersom de är uttryck som inte är vettigt matematiskt.

Beroende på vilka funktioner som är involverade i den ursprungliga gränsen, kan dessutom resultatet som uppnås vid lösningen av obestämdheterna vara olika i varje fall.

Exempel på enkla trigonometriska gränser

För att lösa gränser är det alltid mycket användbart att känna till graferna för de involverade funktionerna. Graferna för sinus-, kosinus- och tangentfunktionerna visas nedan.

Några exempel på enkla trigonometriska gränser är:

- Beräkna gränsen för sin (x) när «x» tenderar att «0».

När man tittar på diagrammet kan man se att om "x" närmar sig "0" (både från vänster och höger) så kommer sinusgrafen också närmare "0". Därför är syndsgränsen (x) när "x" tenderar till "0" "0".

- Beräkna gränsen för cos (x) när «x» tenderar att «0».

Genom att observera kosinusgrafen kan man se att när "x" är nära "0" så är kosinusgrafen nära "1". Detta innebär att gränsen för cos (x) när "x" tenderar att "0" är lika med "1".

En gräns kan existera (vara ett tal), som i föregående exempel, men det kan också hända att den inte existerar som visas i följande exempel.

- Gränsen för solbränna (x) när «x» tenderar att «Π / 2» från vänster är lika med «+ ∞», vilket kan ses i diagrammet. Å andra sidan är gränsen för solbränna (x) när "x" tenderar till "-Π / 2" från höger lika med "-∞".

Trigonometriska gränser Identiteter

Två mycket användbara identiteter vid beräkning av trigonometriska gränser är:

- Gränsen för «sin (x) / x» när «x» tenderar att «0» är lika med «1».

- Gränsen för «(1-cos (x)) / x» när «x» tenderar att «0» är lika med «0».

Dessa identiteter används mycket ofta när du har någon form av obestämdhet.

Lösta övningar

Lös för följande gränser med hjälp av de identiteter som beskrivs ovan.

- Beräkna gränsen för «f (x) = sin (3x) / x» när «x» tenderar att «0».

Om funktionen "f" utvärderas till "0", kommer en obestämbarhet av typ 0/0 att erhållas. Därför måste vi försöka lösa denna obestämbarhet med hjälp av de beskrivna identiteterna.

Den enda skillnaden mellan denna gräns och identiteten är numret 3 som visas inom sinusfunktionen. För att tillämpa identiteten måste funktionen «f (x)» skrivas om på följande sätt «3 * (sin (3x) / 3x)». Nu är både sinusargumentet och nämnaren lika.

Så när "x" tenderar att "0", använder identiteten "3 * 1 = 3". Därför är gränsen för f (x) när "x" tenderar till "0" lika med "3".

- Beräkna gränsen på «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» när «x» tenderar att «0».

När "x = 0" är substituerad i g (x), erhålls en obestämbarhet av typen ∞-∞. För att lösa det subtraheras först fraktionerna, vilket ger "(1-cos (x)) / x".

Nu använder vi den andra trigonometriska identiteten har vi att gränsen för g (x) när «x» tenderar att «0» är lika med 0.

- Beräkna gränsen på «h (x) = 4tan (5x) / 5x» när «x» tenderar att «0».

Återigen, om h (x) utvärderas till "0", kommer en obestämbarhet av typ 0/0 att erhållas.

Omskrivning som (5x) som sin (5x) / cos (5x) resulterar i h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Med användning av att gränsen för 4 / cos (x) när "x" tenderar till "0" är lika med "4/1 = 4" och den första trigonometriska identiteten erhålls att gränsen för h (x) när "x" tenderar a "0" är lika med "1 * 4 = 4".

Observation

Trigonometriska gränser är inte alltid lätta att lösa. Endast grundläggande exempel visades i den här artikeln.

referenser

1. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik. Prentice Hall PTR.
2. Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Precalculus matematik: ett problemlösningsmetod (2, Illustrated ed.). Michigan: Prentice Hall.
3. Fleming, W., & Varberg, D. (1991). Algebra och trigonometri med analytisk geometri. Pearson Education.
4. Larson, R. (2010). Precalculus (8 red.). Cengage Learning.
5. Leal, JM, & Viloria, NG (2005). Plan analytisk geometri. Mérida - Venezuela: Redaktion Venezolana CA
6. Pérez, CD (2006). Förberäkning. Pearson Education.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Calculus (nionde upplagan). Prentice Hall.
8. Saenz, J. (2005). Differentialberäkning med tidiga transcendenta funktioner för Science and Engineering (andra upplagan). Hypotenusa.
9. Scott, CA (2009). Cartesian Plane Geometry, Del: Analytical Conics (1907) (omtryckt red.). Blixtkälla.
10. Sullivan, M. (1997). Förberäkning. Pearson Education.