TESSELLATIONER: KARAKTERISTISKA, TYPER (VANLIGA, OREGELBUNDNA), EXEMPEL - MATTE - 2025

De tilings är belagda ytorna en eller flera siffror som kallas tesserae. De finns överallt: i gator och byggnader av alla slag. Tessera eller plattor är plana bitar, vanligtvis polygoner med kongruenta eller isometriska kopior, som placeras efter ett vanligt mönster. På detta sätt finns det inga utrymmen som är täckta och plattorna eller mosaiken överlappar inte.

I det fall att en enda typ av mosaik bildad av en vanlig polygon används, finns det en regelbunden tessellation, men om två eller flera typer av vanliga polygoner används, är det en semi-regelbunden tessellation.

Figur 1. Kakelgolv med oregelbunden tessellation, eftersom rektanglarna är icke-regelbundna polygoner, även om rutorna är. Källa: Pixabay.

Slutligen, när polygonerna som tessellationen bildar inte är regelbundna, är det en oregelbunden tessellation.

Den vanligaste typen av tessellering är den som bildas av rektangulära och särskilt fyrkantiga mosaiker. I figur 1 har vi ett bra exempel.

Tessellations historia

Tessellation har använts i tusentals år för att täcka golv och väggar i palats och tempel i olika kulturer och religioner.

Till exempel använde den sumeriska civilisationen som blomstrade omkring 3500 f.Kr. söder om Mesopotamia, mellan floderna Eufrat och Tigris, tessellationer i sin arkitektur.

Bild 2. Sumeriska tessellationer vid Istar-porten. Källa: Wikimedia Commons.

Tessellationer har också väckt intresset för matematiker i alla åldrar: från början med Archimedes på 300-talet f.Kr., följt av Johannes Kepler 1619, Camille Jordan 1880, till samtida tider med Roger Penrose.

Penrose skapade en icke-periodisk tessellation känd som Penrose-tessellationen. Det här är bara några få namn på forskare som bidrog mycket om tessellation.

Regelbundna tessellationer

Regelbundna tessellationer görs med endast en typ av vanlig polygon. Å andra sidan, för att tessellationen ska anses vara regelbunden, måste varje punkt i planet:

-Längs till polygonens inre

-Eller till kanten av två intilliggande polygoner

-Slutligen kan det tillhöra det gemensamma toppunktet av minst tre polygoner.

Med ovanstående begränsningar kan det visas att endast liksidiga trianglar, rutor och sexhörningar kan bilda en regelbunden tessellation.

Nomenklatur

Det finns en nomenklatur för att beteckna tessellationer som består av lista i medurs riktning och åtskilda med en punkt, antalet sidor av polygonerna som omger varje nod (eller topppunkt) i tessellationen, alltid börjar med polygonen med det lägsta talet sidor.

Denna nomenklatur gäller regelbundna och halvreglerade tessellationer.

Exempel 1: Triangulär tessellation

Figur 3 visar en regelbunden triangulär tessellation. Det bör noteras att varje nod i den triangulära tessellationen är den gemensamma toppvidden för sex liksidiga trianglar.

Sättet att beteckna denna typ av tessellation är 3.3.3.3.3.3, som också betecknas med 3 ⁶ .

Bild 3. Regelbunden triangulär tessellering 3.3.3.3.3.3. Källa: wikimedia commons

Exempel 2: Kvadratisk tessellation

Figur 4 visar en regelbunden tessellation som endast består av rutor. Det bör noteras att varje nod i tessellationen är omgiven av fyra kongruenta kvadrater. Notationen som används för denna typ av kvadratisk tessellation är: 4.4.4.4 eller alternativt 4 ⁴

Bild 4. Kvadratisk tessellation 4.4.4.4. Källa: wikimedia commons.

Exempel 3: Hexagonal tessellation

I en hexagonal tessellation är varje nod omgiven av tre regelbundna sexhörningar som visas i figur 5. Nomenklaturen för en regelbunden hexagonal tessellation är 6.6.6 eller alternativt 6 ³ .

Bild 5. Hexagonal tessellation 6.6.6. Källa: wikimedia commons.

Halvregelbundna tessellationer

Halvregelbundna eller archimediska tessellationer består av två eller flera typer av vanliga polygoner. Varje nod är omgiven av de typer av polygoner som utgör tessellationen, alltid i samma ordning, och kantförhållandet är helt delat med grannen.

Det finns åtta semi-regelbundna tessellationer:

1. 3.6.3.6 (tri-hexagonal tessellation)
2. 3.3.3.3.6 (trubbig hexagonal tessellation)
3. 3.3.3.4.4 (långsträckt triangulär tessellation)
4. 3.3.4.3.4 (trubbig kvadratisk tessellation)
5. 3.4.6.4 (rhombi-tri-hexagonal tessellation)
6. 4.8.8 (trunkerad kvadratisk tessellation)
7. 3.12.12 (trunkerad hexagonal tessellation)
8. 4.6.12 (trunkerad tri-hexagonal tessellation)

Några exempel på halvregulära tessellationer visas nedan.

Exempel 4: Tri-hexagonal tessellation

Det är den som består av liksidiga trianglar och vanliga sexhörningar i strukturen 3.6.3.6, vilket innebär att en nod i tessellationen är omgiven (tills en varv slutförts) av en triangel, en hexagon, en triangel och en hexagon. Figur 6 visar en sådan tessellation.

Figur 6. Den tri-hexagonala tessellationen (3.6.3.6) är ett exempel på semi-reguljär tessellation. Källa: Wikimedia Commons.

Exempel 5: Blunt hexagonal tessellation

Liksom tessellationen i föregående exempel består denna också av trianglar och sexhörningar, men deras fördelning runt en nod är 3.3.3.3.6. Figur 7 illustrerar tydligt denna typ av tessellation.

Figur 7. Den trubbiga sexkantiga tessellationen består av en hexagon omgiven av 16 trianglar i konfigurationen 3.3.3.3.6. Källa: Wikimedia Commons.

Exempel 6: rhombi-tri-hexagonal tessellation

Det är en tessellation bestående av trianglar, kvadrater och sexhörningar, i konfigurationen 3.4.6.4, som visas i figur 8.

Bild 8. Halvregelbunden tessellation sammansatt av en triangel, en fyrkant och en hexagon i konfigurationen 3.4.6.4. Källa: Wikimedia Commons.

Oregelbundna tessellationer

Oregelbundna tessellationer är de som bildas av oregelbundna polygoner, eller av vanliga polygoner, men uppfyller inte kriteriet att en nod är en topp av minst tre polygoner.

Exempel 7

Figur 9 visar ett exempel på oregelbunden tessellation, där alla polygoner är regelbundna och kongruenta. Det är oregelbundet eftersom en nod inte är ett vanligt toppunkt på minst tre rutor och det finns också angränsande rutor som inte helt delar en kant.

Bild 9. Även om alla plattor är kongruenta rutor är detta ett tydligt exempel på oregelbunden tessellation. Källa: F. Zapata.

Exempel 8

Parallellogrammet plattar en plan yta, men om det inte är en kvadrat kan det inte bilda en regelbunden tessellation.

Bild 10. En tessellation bildad av parallellogram är oregelbunden, eftersom dess mosaiker är icke-regelbundna polygoner. Källa: F. Zapata.

Exempel 9

Icke-reguljära sexhörningar med central symmetri tessellera en plan yta, som visas i följande bild:

Bild 11. Sexhörningar med central symmetri även om de inte är regelbundna tessellera planet. Källa: F. Zapata.

Exempel 10: Tessellation av Kairo

Det är en mycket intressant tessellation, som består av femkantar med sidor med samma längd men med ojämna vinklar, varav två är raka och de andra tre har 120 º vardera.

Namnet kommer från det faktum att denna tessellation finns i trottoaren på några av gatorna i Kairo i Egypten. Figur 12 visar tessellationen av Kairo.

Bild 12. Cairo Tessellation. Källa: Wikimedia Commons.

Exempel 11: Al-Andalus tessellation

Tessellationen under vissa delar av Andalusien och Nordafrika kännetecknas av geometri och epigrafi, förutom prydnadselement som vegetation.

Tessellationen av palats som Alhambra består av brickor bestående av keramiska bitar av många färger, med flera (om inte oändliga) former som släpptes ut i geometriska mönster.

Bild 13. Tessellation av Alhambra Palace. Tartaglia / Public domain

Exempel 12: tessellation i videospel

Också känd som tesellation, det är en av de mest populära nyheterna i videospel. Det handlar om att skapa strukturer för att simulera tessellationen av de olika scenarierna som visas i simulatorn.

Detta är en tydlig reflektion att dessa beläggningar fortsätter att utvecklas och passerar gränserna för verkligheten.

referenser

1. Njut av matte. Tessellations. Återställd från: enjoymatematicas.com
2. Rubiños. Tessellationer löste exempel. Återställd från: matematicasn.blogspot.com
3. Weisstein, Eric W. "Demiregular tessellation." Weisstein, Eric W, ed. MathWorld. Wolfram Research.
4. Wikipedia. Tessellation. Återställd från: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Regelbunden tessellation. Återställd från: es.wikipedia.com