ALGEBRAISKA DERIVAT (MED EXEMPEL) - MATTE - 2025

De algebraiska derivaten består av studien av derivatet i fallet med algebraiska funktioner. Ursprunget till begreppet derivat går från antika Grekland. Utvecklingen av denna uppfattning motiverades av behovet av att lösa två viktiga problem, ett i fysik och det andra i matematik.

I fysiken löser derivatet problemet med att bestämma den omedelbara hastigheten hos ett rörligt objekt. I matematik kan du hitta tangentlinjen till en kurva vid en given punkt.

Även om det verkligen finns många fler problem som löses genom att använda derivatet, liksom dess generaliseringar, resultat som kom efter introduktionen av dess koncept.

Pionjärerna för differentiell kalkyl är Newton och Leibniz. Innan vi ger den formella definitionen kommer vi att utveckla idén bakom den, ur en matematisk och fysisk synvinkel.

Derivatet som lutning av tangentlinjen till en kurva

Anta att grafen för en funktion y = f (x) är en kontinuerlig graf (utan toppar eller toppar eller luckor), och låt A = (a, f (a)) vara en fast punkt på den. Vi vill hitta ekvationen för linjetangenten till diagrammet för funktionen f vid punkt A.

Låt oss ta någon annan punkt P = (x, f (x)) på diagrammet, nära punkt A, och rita den säkrade linjen som passerar genom A och P. eller fler poäng.

För att få den tangentlinje som vi vill, behöver vi bara beräkna lutningen eftersom vi redan har en punkt på linjen: punkt A.

Om vi ​​flyttar punkt P längs diagrammet och kommer närmare och närmare punkt A kommer den tidigare nämnda sekantlinjen att närma sig tangentlinjen som vi vill hitta. Med gränsen när "P tenderar att A" kommer båda linjerna att sammanfalla, därför också deras sluttningar.

Lutningen på den säkra linjen ges av

Att säga att P närmar sig A motsvarar att "x" närmar sig "a". Således kommer lutningen på tangentlinjen till diagrammet för f vid punkt A att vara lika med:

Ovanstående uttryck betecknas med f '(a) och definieras som derivatet av en funktion f vid punkten "a". Vi ser därför att analytiskt är derivatet av en funktion vid en punkt en gräns, men geometriskt är det lutningen för tangentlinjen till grafen för funktionen vid punkten.

Nu ska vi titta på denna uppfattning ur fysikens synvinkel. Vi kommer att nå samma uttryck för den föregående gränsen, även om på en annan väg och därmed få enhällighet i definitionen.

Derivatet som en omedelbar hastighet för ett rörligt objekt

Låt oss titta på ett kort exempel på vad omedelbar hastighet betyder. När man till exempel säger att en bil för att nå en destination gjorde det med en hastighet på 100 km per timme, vilket innebär att den på en timme körde 100 km.

Det betyder inte nödvändigtvis att bilen under hela timmen alltid var 100 km, bilens hastighetsmätare i vissa ögonblick kunde markera mindre eller mer. Om du hade behov av att stanna vid ett trafikljus var din hastighet vid den tiden 0 km. Efter en timme var resan dock 100 km.

Detta är vad som kallas medelhastighet och ges av kvoten på det körda avståndet och den förflutna tiden, som vi just har sett. Omedelbar hastighet, å andra sidan, är den som markerar nålen på en bils hastighetsmätare vid ett visst ögonblick (tid).

Låt oss titta på detta nu mer generellt. Anta att ett objekt rör sig längs en linje och att denna förskjutning representeras av ekvationen s = f (t), där variabeln t mäter tid och variabeln s förskjutningen, med hänsyn till dess början i ögonblicket t = 0, vid vilken tidpunkt det också är noll, det vill säga f (0) = 0.

Denna funktion f (t) kallas positionsfunktionen.

Ett uttryck söks efter objektets snabba hastighet vid ett fast ögonblick "a". Vid denna hastighet kommer vi att beteckna det med V (a).

Låt t vara när som helst nära omedelbart "a". I tidsintervallet mellan "a" och "t" ges förändringen i objektets position av f (t) -f (a).

Medelhastigheten i detta tidsintervall är:

Vilket är en approximation av den omedelbara hastigheten V (a). Denna tillnärmning kommer att bli bättre när t närmar sig "a". Således,

Observera att detta uttryck är detsamma som det som erhållits i föregående fall, men från ett annat perspektiv. Detta är vad som är känt som derivatet av en funktion f vid en punkt "a" och betecknas med f '(a), såsom anges ovan.

Observera att genom att göra ändringen h = xa, har vi att när "x" tenderar att "a", "h" tenderar till 0, och den föregående gränsen omvandlas (på motsvarande sätt) till:

Båda uttrycka är likvärdiga men ibland är det bättre att använda det ena istället för det andra, beroende på fallet.

Derivatet av en funktion f vid varje punkt "x" som tillhör dess domän definieras sedan på ett mer generellt sätt som

Den vanligaste notationen för att representera derivatet av en funktion y = f (x) är den vi just har sett (f 'eller y'). En annan allmänt använd notation är emellertid Leibnizs notation som representeras som något av följande uttryck:

Eftersom derivatet i huvudsak är en gräns kan det eller inte existera, eftersom gränser inte alltid finns. Om den existerar sägs funktionen i fråga vara differentierbar vid den givna punkten.

Algebraisk funktion

En algebraisk funktion är en kombination av polynom med hjälp av tillsats, subtraktion, produkter, kvoter, krafter och radikaler.

Ett polynom är ett uttryck för formen

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + … + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Där n är ett naturligt tal och alla a _i , med i = 0,1, …, n, är rationella siffror och _n ≠ 0. I detta fall sägs graden av detta polynom vara n.

Följande är exempel på algebraiska funktioner:

Exponentiella, logaritmiska och trigonometriska funktioner ingår inte här. De härledningsreglerna som vi kommer att se nästa är giltiga för funktioner i allmänhet, men vi kommer att begränsa oss och tillämpa dem för algebraiska funktioner.

Omkoppling regler

Derivat av en konstant

Anger att derivatet av en konstant är noll. Det vill säga, om f (x) = c, då f '(x) = 0. Exempelvis är derivatet av konstantfunktionen 2 lika med 0.

Derivat av en makt

Om f (x) = x ⁿ , är f '(x) = nx ^n-1 . Till exempel, derivatan av x ³ är 3x ² . Som en konsekvens av detta erhåller vi att derivatet av identitetsfunktionen f (x) = x är f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Ett annat exempel är följande: låt f (x) = 1 / x ² , sedan f (x) = x ^-2 och f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3 .

Denna egenskap är också giltiga rötter, eftersom rötter är rationella befogenheter och ovanstående kan också tillämpas i det fallet. Exempelvis ges derivatet av en kvadratrot av

Derivat av tillägg och subtraktion

Om f och g är differentierbara funktioner i x, är summan f + g också differentierbar och det är tillfredsställande att (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

På liknande sätt har vi det (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). Med andra ord är derivatet av en summa (subtraktion) summan (eller subtraktionen) av derivaten.

Exempel

Om h (x) = x ² + x-1, då

h '(x) = (x ² ) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Härledd från en produkt

Om f och g är differentierbara funktioner i x, är produkten fg också differentierbar i x och det är sant att

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Som en följd av detta följer att om c är en konstant och f är en differentierbar funktion i x, så är cf också differentierbar i x och (cf) '(x) = cf' (X).

Exempel

Om f (x) = 3x (x ² +1), sedan

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² 1) + 3x = 3 (x ² 1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² 3.

Derivat av en kvotient

Om f och g är differentierbara vid x och g (x) ≠ 0, är ​​f / g också differentierbar vid x, och det är sant att

Exempel: om h (x) = x ³ / (x ² -5x), då

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ² .

Kedjan regel

Denna regel gör det möjligt att härleda funktionernas sammansättning. Ange följande: om y = f (u) är differentierbar vid u, yu = g (x) är differentierbar vid x, så är kompositfunktionen f (g (x)) differentierbar vid x, och det är sant att '= f '(g (x)) g' (x).

Det vill säga derivatet av en kompositfunktion är produkten från derivatan av den externa funktionen (externt derivat) och derivatet av den interna funktionen (internt derivat).

Exempel

Om f (x) = (x ⁴ -2x) ³ , då

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Det finns också resultat för att beräkna derivatan för det inversa av en funktion, liksom generalisering till derivat av högre ordning. Ansökningarna är omfattande. Bland dem är dess användbarhet vid optimeringsproblem och maximala och minsta funktioner.

referenser

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Skillnadskalkyl. DET M.
2. Cabrera, VM (1997). Beräkning 4000. Redaktionell Progreso.
3. Castaño, HF (2005). Matematik före beräkning. University of Medellin.
4. Eduardo, NA (2003). Introduktion till Calculus. Tröskelversioner.
5. Fuentes, A. (2016). GRUNDLÄGGANDE MATH. En introduktion till kalkyl. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Beräkning. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Differentialberäkning (andra upplagan). Barquisimeto: Hypotenuse.
8. Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Beräkning: flera variabler. Pearson Education.