Den additiva sönderdelningen av ett positivt heltal består av att uttrycka det som en summa av två eller fler positiva heltal. Således har vi att antalet 5 kan uttryckas som 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 eller 5 = 1 + 2 + 2. Var och en av dessa sätt att skriva numret 5 är vad vi kommer att kalla extra additiv sönderdelning.

Om vi ​​uppmärksammar kan vi se att uttryck 5 = 2 + 3 och 5 = 3 + 2 representerar samma sammansättning; de har båda samma nummer. Men bara för enkelhets skull skrivs varje tillägg vanligtvis efter kriteriet från lägst till högst.

Tillsats nedbrytning

Som ett annat exempel kan vi ta numret 27, som vi kan uttrycka som:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Additiv sönderdelning är ett mycket användbart verktyg som gör att vi kan stärka vår kunskap om numreringssystem.

Kanonisk tillsatsnedbrytning

När vi har siffror med mer än två siffror, är ett särskilt sätt att sönderdela dem i multiplarna 10, 100, 1000, 10 000, etc., som utgör det. Detta sätt att skriva valfritt nummer kallas kanonisk tillsatsnedbrytning. Till exempel kan numret 1456 sönderdelas enligt följande:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Om vi ​​har numret 20 846 295 kommer dess kanoniska tillsatsnedbrytning att vara:

20 846 295 = 20.000.000 + 800.000 + 40.000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Tack vare denna sönderdelning kan vi se att värdet på en given siffra ges av den position den upptar. Låt oss ta siffrorna 24 och 42 som ett exempel:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Här kan vi se att hos 24 har 2 ett värde på 20 enheter och 4 ett värde på 4 enheter; å andra sidan, i 42 har 4 ett värde på 40 enheter och 2 av två enheter. Även om båda siffrorna använder samma siffror är deras värden helt olika på grund av deras position.

tillämpningar

En av applikationerna som vi kan ge till tillsatsnedbrytning är i vissa typer av bevis, där det är mycket användbart att se ett positivt heltal som summan av andra.

Exempelsteorem

Låt oss ta som exempel följande teorem med respektive bevis.

- Låt Z vara ett fyrsiffrigt heltal, då är Z delbart med 5 om dess motsvarande siffra till enheterna är noll eller fem.

Demonstration

Låt oss komma ihåg vad som är delbarhet. Om vi ​​har heltal "a" och "b", säger vi att "a" delar "b" om det finns ett heltal "c" så att b = a * c.

En av egenskaperna för delbarhet berättar att om "a" och "b" är delbara med "c", så är subtraktionen "ab" också delbar.

Låt Z vara ett fyrsiffrigt heltal; därför kan vi skriva Z som Z = ABCD.

Med kanonisk tillsatsnedbrytning har vi:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Det är uppenbart att A * 1000 + B * 100 + C * 10 är delbar med 5. För detta har vi att Z är delbart med 5 om Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) är delbart med 5.

Men Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D och D är ett ensiffrigt tal, så det enda sättet att delas med 5 är att det är 0 eller 5.

Därför är Z delbart med 5 om D = 0 eller D = 5.

Observera att om Z har n-siffror är beviset exakt detsamma, det förändras bara att vi nu skulle skriva Z = A ₁ A ₂ … A _n och målet skulle vara att bevisa att A _n är noll eller fem.

partitioner

Vi säger att en partition av ett positivt heltal är ett sätt att vi kan skriva ett nummer som en summa av positiva heltal.

Skillnaden mellan en tillsatsnedbrytning och en partition är att även om den första försöker att åtminstone den kan sönderdelas i två tillägg eller mer, har inte partitionen denna begränsning.

Således har vi följande:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Ovanstående är partitioner av 5.

Det vill säga, vi har att varje tillsatsnedbrytning är en partition, men inte varje partition är nödvändigtvis en tillsatsnedbrytning.

I talteorin garanterar det grundläggande teoremet för aritmetik att varje heltal kan skrivas unikt som en produkt av primetter.

När man studerar partitioner är målet att bestämma på hur många sätt ett positivt heltal kan skrivas som summan av andra heltal. Därför definierar vi partitionsfunktionen som presenteras nedan.

Definition

Partitionsfunktionen p (n) definieras som antalet sätt att ett positivt heltal n kan skrivas som en summa av positiva heltal.

När vi återgår till exemplet med 5 har vi att:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Således är p (5) = 7.

Grafik

Både partitioner och tillsatsnedbrytningar av ett nummer n kan representeras geometriskt. Anta att vi har en tillsatsnedbrytning av n. I denna sönderdelning kan tilläggarna ordnas så att medlemmarna av summan ordnas från minst till största. Så okej:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _r med

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤ … ≤ a _r .

Vi kan grafera denna nedbrytning på följande sätt: i en första rad markerar vi _1- punkterna, sedan i nästa markerar vi _2- punkter, och så vidare tills vi når _r .

Ta till exempel numret 23 och följande nedbrytning:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Vi beställer denna sönderdelning och vi har:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Dess motsvarande graf skulle vara: